2019版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明11.4直接证明与间接证明学案理

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1、11.4 直接证明与间接证明[知识梳理]1.直接证明2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.[诊断自测]1.概念思辨(1)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(  )(2)证明不等式+<+最适合的方法是分

2、析法.(  )(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(  )(4)在解决问题时,常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.(  )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.教材衍化(1)(选修A2-2P90例5)用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个是偶数”正确的反设为(  )A.a,b,c中至少有两个偶数B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.a,b,c都是奇数D.a,b,c都是偶数答案 B解析 a,b,c中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶数,其否定有a,b,c均为奇数或a,b,c中至少有两个偶数.故选B.(2)(选

3、修A2-2P89T2)设a>b>0,m=-,n=,则m,n的大小关系是________.答案 m0,n>0,则m2-n2=a+b-2-a+b=2b-2=2-2<0,∴m20,b>0,且a+b=4,则下列不等式中恒成立的是(  )A.>B.+≤1C.≥2D.≤答案 D解析 ∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2=16.∴a2+b2≥8,∴≤.故选D.(2)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>2;②a2+b2>2.其中能推出:

4、“a,b中至少有一个大于1”的条件是________.(填序号)答案 ①解析 取a=-2,b=-1,则a2+b2>2,从而②推不出.①能够推出,即若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.用反证法证明如下:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾.因此假设不成立,所以a,b中至少有一个大于1.题型1 分析法的应用  已知a>0,证明:-≥a+-2.本题证明时需要用分析法,在推导过程中用到平方法.证明 要证-≥a+-2,只需证≥-(2-).因为a>0,所以-(2-)>0,所以只需证2≥2,即2(2-)≥8-4,只需证a+≥2.因为a>0,a+≥2显然成立,所以要证的不

5、等式成立.方法技巧1.分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想.(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证.2.分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接.②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体.③含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导.(2)证题关键:保证分析过程的每一步都是可逆的.冲关针对训练(2018·天津期末)已知x>y>0,m>0.用分析法证明:(2-)≤1.证明 要用分析法证明:(2-)≤1,只

6、需2-()2≤1,只需()2-2+1≥0,即(-1)2≥0,因为x,y>0,且(-1)2≥0成立,所以(2-)≤1.题型2 综合法的应用  设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.证明 (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.当且仅当“a=b=c”时等号成立.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当“a2=b2=c2”时等

7、号成立,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.方法技巧1.利用综合法证题的策略用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1)定义明确的问题;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.2.综合法证明问题的常见类型及方法(1)与不等式有关的证明:充分利用函数、方程、不等式间的关系,同时注意函数单调性、最值的应用,尤其注意导数思想的应用.见典例.(2)与数列有关的证明:充分利用等差、等比数列的定义通项及前n项和公式证明.冲关针

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