高中数学《平面向量应用举例》学案3 新人教a版必修4

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1、§2.5.1平面几何中的向量方法学习目标：⒈会利用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、距离、夹角等问题．⒉培养和发展运算能力和解决实际问题的能力．⒊体会几何论证的严谨、优雅，以及它给人的美感和享受，锻炼自己的抽象思维能力．教学重点：平面几何中的向量方法．教学难点：平面几何中的向量方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：　　（Ⅰ）新课引入：师：由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量

2、方法在平面几何中的运用．（Ⅱ）讲授新课：例1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到，，我们计算和．证明：不妨设a，b，则a+b，a-b，

3、a

4、2，

5、b

6、2．∴(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=

7、a

8、2+2a·b+

9、b

10、2．①同理　　　

11、a

12、2-2a·b+

13、b

14、2．②①+②得2(

15、a

16、2+

17、b

18、2)=2()．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．师：

19、由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；⑶把运算结果“翻译”成几何关系．例2，如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？分析：由于R、T是对角线AC上两点，所以要判断AR、RT、TC之间的关系，

20、只需要分别判断AR、RT、TC与AC之间的关系即可．解：设a，b，则a+b．　　∵　与共线　　∴　存在实数m，使得=m(a+b)．又　∵　与共线　　∴　存在实数n，使得=n=n(b-a)．　　由=n，得m(a+b)=a+n(b-a)．整理得　　　　　　a＋b＝0．由于向量a、b不共线，所以有　，解得．所以　　　　　　　　　　　．同理　　　　　　　　　　　．于是　　　　　　　　　　　．所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法．例3已知△ABC三条高线AD、BE、CF，求证：AD、BE、CF

21、交于一点．分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题．解：如图，以BC所在直线为x轴，过点A垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A、B、C三点的坐标分别为，，，且BE、CF交于点，则，，，．∵　，，∴　，解得　．所以，点H在y轴上，即点H在AD上，AD、BE、CF交于一点．（Ⅲ）课后练习：课本练习　习题2.5　B组⒊（Ⅳ）课时小结:几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来替代“数和数的运算”.这就是把点、线等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计

22、算结果翻译成关于点、线的相应结果．如果把代数方法简单地表述为［形到数］——［数的运算］——［数到形］，则向量方法可以简单的表述为［形到向量］——［向量的运算］——［向量和数到形］．（Ⅴ）课后作业：⒈课本练习　习题2.5　A组⒈⒉⒉预习课本～，思考下列问题：⑴怎样把物理问题转化为数学问题？⑵如何用数学模型来解释相应的物理现象？板书设计：§2.5.1平面几何中的向量方法例⒈　　用向量法解平面几何例2小结问题的“三步曲”预习提纲教学后记:§2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标：⒈学会运用向量的有关知识解决物理中有关力的分解与合成，速度的分解与合成、位移的分解与合成以及有关功的计算．⒉培养探究

23、意识，提高运用数学知识解决实际问题的能力．⒊体会学科间的联系，以及数学工具应用的广泛性与重要性．教学重点：向量在物理中的应用．教学难点：向量在物理中的应用．教学方法：讨论式．教具准备：用《几何画板》演示例3、例4．教学过程：　　（Ⅰ）新课引入：师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量在物理中的运用