高中数学第2章数列章末分层突破学案苏教版必修5

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1、第2章数列章末分层突破[自我校对]①an－an－1＝d(n≥2)②a1＋(n－1)d③④na1＋d⑤am＋an＝ap＋aq＝2ak⑥(n≥2)⑦aman＝apaq＝a_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2、____________________________________________________________________　等差(比)数列公式与性质的应用等差、等比数列从定义，通项公式，前n项和公式，及性质可比较如下：等差数列等比数列定义an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)＝q(非零常数)(n∈N*)anan＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1SnSn＝Sn＝Sn＝na1＋dSn＝性质(1)an＝am＋(n－m)d或d＝(n≠m)an＝amqn－m或qn－m＝(n，m∈N*)(2)若{an}，{b

3、n}是等差数列，则{pan＋qbn}(p，q为常数)仍是等差数列若{an}，{bn}是等比数列，则{an·bn}，等仍是等比数列(3)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq；特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a(4)设Sn是等差数列{an}的前n项和，则①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；②也是一个等差数列设Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sk

4、，S2k－Sk，S3k－S2k满足(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)在解题过程中，既要注意到两类数列的可类比性，又要注意到二者的区别，切忌混用误用．　(1)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝________.(2)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝________.【精彩点拨】　(1)先由a1，a3,2a2成等差数列求公比q，进而求的值．(2)利用等比数列的性质求a4，由等差中项求a7，进而求S

5、5.【规范解答】　(1)∵a1，a3,2a2成等差数列，∴2×a3＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2.设等比数列{an}的公比为q且q>0，则a3＝a1q2，a2＝a1q，∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，＝＝q2＝(＋1)2＝3＋2.(2)由等比数列性质可知a2·a3＝a1·a4，∵a2·a3＝2a1，∴a1·a4＝2a1，而a1≠0，∴a4＝2.由已知a4＋2a7＝2×，∴a7＝，∴q3＝＝，∴q＝，∴a1＝＝＝16，∴S5＝＝＝31.【答案】　(1)3＋2　(2)3

6、1[再练一题]1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．【解】　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)，故{bn}的第3项为5，公比为2，由b3＝b1·22，即

7、5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)证明：数列{bn}的前n项和Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2，所以S1＋＝，＝＝2.因此是以为首项，公比为2的等比数列.数列通项公式的求法1.形如an＋1＝an＋f(n)(n∈N*)的递推数列，可用累加法求通项公式：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)．2．形如an＋1＝f(n)·an(n∈N*)的递推数列，

8、可用累乘法求通项公式：an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．3．形如an＋1＝pan＋q(pq≠0，且p≠1)的递推数列，可构造等比数列，其中该等比数列的首项是a1＋，公比为p.4．形如an＋1＝pan＋qn的递推数列，可在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，转化为形如an＋1＝pan＋q的形式求解．　已知数列{an}分别满足以