高二数学不等式选讲知识精讲 苏教版

《高二数学不等式选讲知识精讲 苏教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高二数学不等式选讲知识精讲苏教版一.本周教学内容：不等式选讲二.教学重点、难点：二、本周教学目标：1、掌握不等式的基本性质，并能说明这些性质存在的道理．2、进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；3、认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小的方法是证明不等式的常用方法，会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明方法证明一些简单的不等式．三、本周知识要点：（一）不等式的性质（1）a＞bb＜a（2）a＞b，b＞ca＞c（3）a＞ba＋c＞b＋c（4）a＞b，c＞0，ac＞bc；（5）若（6）若（二）含有绝对值的不等式1、

2、x

3、＜a－a＜

4、x＜a．

5、x

6、＞ax＞a或x＜－a．2、性质1：性质2：性质3：（三）不等式的证明1、比较法2、综合法与分析法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法

7、叫做分析法．3、反证法4、放缩法例1.已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小．解：由题意可知：（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1．例1引申：在例1中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何？在例1中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1当

8、x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1例2.已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d．（相减法则）分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的．证法一：∵a＞b，c＜d∵a－b＞0，d－c＞0∴（a－c）－（b－d）＝（a－b）＋（d－c）＞0（两个正数的和仍为正数）故a－c＞b－d．思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的．证法

9、二：∵c＜d∴－c＞－d又∵a＞b∴a＋（－c）＞b＋（－d）∴a－c＞b－d例3.已知a，b，x，y是正数，且，x＞y．求证：．证：∵＞0∴b＞a＞0，又x＞y＞0∴xb＞ay∴xy＋xb＞xy＋ay即x（y＋b）＞y（x＋a）∵a，b，x，y是正数，∴y＋b＞0，x＋a＞0∴．例4.已知函数，－4≤≤－1，－1≤（2）≤5，求的取值范围．分析：利用与设法表示a、c，然后再代入的表达式中，从而用与来表示，最后运用已知条件确定的取值范围．解：∵解得∴∵－4≤（1）≤－1，故（1）又－1≤（2）≤5，故（2）把（1）和（2）的各边分别相加

10、，得：－1≤≤20所以，－1≤（3）≤20点评：应当注意，下面的解法是错误的：依题意，得：由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a≤3，1≤c≤7（3）所以，由可得，－7≤（3）≤27．以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a、c的范围扩大，这样（3）的范围也就随之扩大了．例5.已知

11、x

12、＜，

13、y

14、＜，

15、z

16、＜，求证

17、x＋2y－3z

18、＜ε．证明：

19、x＋2y－3z

20、≤

21、x

22、＋

23、2y

24、＋

25、－3z

26、=

27、x

28、＋2

29、y

30、＋3

31、z

32、∵

33、x

34、＜，

35、y

36、＜，

37、

38、z

39、＜，∴

40、x

41、＋2

42、y

43、＋3

44、z

45、＜∴

46、x＋2y－3z

47、＜ε例6.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为，所以本题只需证明．证明：设截面的周长为L，依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明．为了证明上式成立，只需证明两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以例7.若a，b，c

48、，dÎR＋，求证：证明：（用放缩法）记m＝∵a，b，c，dÎR＋∴∴1＜m＜2即原式成立一、选择题1、若a＜0，－1＜b＜0，则有（）A.a＞ab＞ab2B.ab2＞ab＞aC.ab＞a＞ab2D.ab＞a