高中数学 1.1.2 正余弦定理综合应用学案 新人教a版必修5

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1、1.1.2正余弦定理综合应用【学习目标】1．能灵活运用正余弦定理判断三角形的形状；2．能结合正余弦定理进行三角形面积的计算。【知识梳理】1．余弦定理：2．在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；若a2=b2+c2，则△ABC为直角三角形；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形3．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即　　===2R（R为△ABC外接圆半径）【范例分析】例1．（1）△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A直角三角形B等腰直角三角形C

2、等边三角形D等腰三角形（2）已知锐角三角形的边长分别为，则第三边应适合（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、引申：若三角形为钝角三角形，则第三边的取值范围是。例2．在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形例3．已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长例4．如图，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？【规律总结】1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边具体方法：①通过正弦定

3、理，②通过余弦定理，③通过面积公式。2．三角形的面积公式：（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；（3）＝＝＝；（4）＝2R2sinAsinBsinC。（R为三角形外接圆半径）（5）＝；（6）＝；；（7）＝r·；（r为三角形内切圆半径）。【基础训练】一、选择题1．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（　　）　Ａ．能组成锐角三角形Ｂ．能组成直角三角形Ｃ．能组成钝角三角形　Ｄ．不能组成三角形2．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（）A．B．C．D．3．

4、已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．4．在ΔABC中,，则ΔABC的外接圆直径为（）A、B、C、D、5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果2b=a+c.，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A.B.1+C.D.2+二、填空题6．在△中，已知，，则△的形状是．7．在中，的对边分别为，已知，，三角形的面积为，求的值为。8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2－c2），则∠C的度数是_______.三、解答题9．根据所给条件，判断的形状。（1）；（2）；（3）

5、10．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．【选做题】11．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形12．△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角。（1）求最大角;（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积