高中数学 第一章 解三角形 实际问题应用教学案 新人教a版必修5

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1、云南省师范大学五华区实验中学高中数学第一章解三角形实际问题应用教学案新人教A版必修5解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可

2、到达的点之间距离的问题.对于例1可以引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．教学目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方

3、向角、方位角等.教学过程导入新课师前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习

4、正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．推进新课解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.［例题剖析］【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两点的距离.(精确到0.1m)师（启发提问）1：△ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角

5、呢？请学生回答．生从题中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该用正弦定理．生这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边．解：根据正弦定理，得，≈65.7(m).答:A、B两点间的距离为65.7米.[知识拓展]变题：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于Akm,灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图

6、，建立数学模型．解略：km.[教师精讲]师可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕师解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些

7、应用.变题：我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？师你能根据方位角画出图吗？生（引导启发学生作图）师根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．生例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.解：如图，在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2·AB·AC·cos∠BAC=202+122-2×12×20×(-)=784,BC=28,∴我舰的追击速度为14海里/时.又在△ABC中,由正弦定理得∴.

8、答：我舰航行的方向为北偏东50°-arcsin.