高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法学业分层测评（含解析）北师大版选修2-2

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1、1.4数学归纳法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步验证(　　)A.n＝1B.n＝2C.n＝3D.n＝4【解析】　由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立.【答案】　C2.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A.f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B.f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C.f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D.f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋【解析】　结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的

2、连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.【答案】　D3.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N＋)时，等式左边应在n＝k的基础上加上(　　)A.k2＋1B.(k＋1)2C.D.(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2【解析】　当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.【答案】　D4.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是(　　)A.若f(3)≥9成立，则当k≥

3、1时，均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

4、假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述(　　)A.命题、推理都正确B.命题正确、推理不正确C.命题不正确、推理正确D.命题、推理都不正确【解析】　推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.【答案】　B二、填空题6.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.【解析】　∵f(k)＝12

5、＋22＋32＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.【答案】　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27.用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________.【解析】　当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.【答案】　＋＋…＋＋>－8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时

6、，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________.【解析】　当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.【答案】　(k＋1)2＋k2三、解答题9.用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(

7、k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.10.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1).【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立.(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋