高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理教案 新人教a版选修2-3

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1、1．3.1二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点2教学重点：用计数原理分析(a＋b)的展开式，得到

2、二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程引入新课我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做

3、第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做mn！从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(n－m)！(3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中mn(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！取出m个元素的一个组合．Cn＝＝.m！m！(n－m)！设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．123提出问题：如何利用两个计

4、数原理得到(a＋b)，(a＋b)，(a＋b)的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：1(a＋b)＝a＋b222(a＋b)＝a＋2ab＋b323223(a＋b)＝(a＋b)(a＋b)＝a＋3ab＋3ab＋b23设计意图：引导学生将(a＋b)与(a＋b)的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．探究新知4(a＋b)＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)的展开式各项都是

5、4次式，即展开式的各项应该432234具有如下形式：a，ab，ab，ab，b.2222提出问题1：(1)以ab项为例，有几种情况相乘均可得到ab项？这里的字母a，b各22来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，ab项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题2：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式

6、子：4432234(a＋b)＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝()a＋()ab＋()ab＋()ab＋()b括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．0活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，401312a的系数是C4；恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，2223334ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4个都取b的情况有C4种，44404132223344b的系数是C4，∴(a＋b)＝C4

7、a＋C4ab＋C4ab＋C4ab＋C4b.设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．n提出问题3：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．n设计意图：通过学生对(a＋b)展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体