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1、第七章定积分（30课时）教学目的与要求1知道定积分的客观背景:曲边梯形的面积和物体运动的路程以及解决这些实际问题的思想方法，深刻理解定积分的意义;2掌握小和与大和的概念及其性质;3理解可积准则的分析意义及几何意义;4会应用可积准则证明三类函数的可积性,能独立证明可积性问题;记住定积分的性质并掌握每个性质的证明方法；5掌握应用定积分的性质证明定积分的有关问题6深刻理解微积分基本定理的意义，并具有应用积分基本定理证明有关的定积分的能力；7熟练地应用Newton—Leibniz公式，定积分的分部积分公式和换元公式计算定积分；8熟练应用本节给出的公式，计算平面区域的面积、平面
2、曲线的弧长、用截面面积计算体积、旋转体体积及它的侧面积；9掌握曲率及曲率半径的计算方法，会求曲率圆方程。教学重点与难点重点：1定积分的性质，微积分基本定理；2定积分的分部积分公式和换元公式计算定积分；3计算平面区域的面积、平面曲线的弧长、用截面面积计算体积、旋转体体积及它的侧面积。难点：1小和与大和的概念及其性质;2可积准则的分析意义及几何意义;3应用积分基本定理证明有关的定积分的能力。第一节定积分的概念与可积条件17教学目的：1.知道定积分的客观背景:曲边梯形的面积和物体运动的路程以及解决这些实际问题的思想方法;2.深刻理解定积分的意义;3.掌握小和与大和的概念及其
3、性质;4.理解可积准则的分析意义及几何意义;5.会应用可积准则证明三类函数的可积性,能独立证明可积性问题;教学过程1定积分的背景例1.求曲边梯形的面积及非匀速直线运动的物体在一段时间内的位移.2定积分的定义（P275—276），.f(x)在［a,b］上的定积分是为了运算的需要，规定：a=b时 ＝０＝－3Darboux和性质1对[a,b]的一个分法T，增加某些新分点构成[a,b]的一个新分法T’，有证明：只增加一个新分点，区间分成，上的最小值记为，上的最小值记为，则，从而此即性质2对任意分法，有证明：合成，由性质1，可得17性质3：从性质3，可以直观地看出，当时，函数
4、可积。因为4Riemann可积的充要条件定理1（可积准则）f(x)在[a,b]上可积当且仅当证明：必要性得到，或充分性（略）定义振幅定理1’（可积准则）f(x)在[a,b]上可积当且仅当5三类可积函数定理2闭区间上的连续函数可积。定理3f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。证明：不妨设f(x)在[a,b]上单调增加，对[a,b]的任意分法T，函数f(x)在小区间上的下确界mk与上确界Mk分别是则，对[a,b]的任意分法T，当时，即时，有17根据可积准则的充分性，单调函数f(x)在［a,b］上可积．定理4. f(x)在闭区间［a,b］上有界，且存在有
5、限个不连续点，则f(x)在［a,b］上可积．证明：不妨设是一个不连续点，其余都为连续点．w=M-m,M,m分别为f(x)在［a,b］上的最大最小值．去掉小区间后，f(x)在，上连续，从而一致连续．，，时同样时．取 当 时， （１）当时 （１）同样满足．对［a,b］的一个分划T．只要L(T)将区间分成两类：（I）［］全部落在或中．（II）[]至少有一点落在中．其余见教材P283—284作业：P2855、6、7、9第二节定积分的基本性质教学目的：1、记住定积分的性质并掌握每个性质的证明方法；2、掌握应用定积分的性质证明定积分的有关问题教学过程171定积分的性质由定积分的几
6、何意义得1.1在［a,b］上，f(x)＝c（const）则f(x)＝c在［a,b］上可积，且证明： f(x)＝c在［a,b］上的积分和＝c=c(b-a)则 ＝c(b-a)即1.2(线性性),在［a,b］上可积，则＋在［a,b］上也可积，且＝＋证明：+在［a,b］上的积分和＝+=+即＝＋推论1f(x)在［a,b］上可积，则cf(x)在［a,b］上也可积，且＝c证明：推论2n个函数都在区间［a,b］上可积，则它们的线性组合17＋＋….＋在［a,b］上也可积．＝＋＋…＋1.3区间的可积性(1)f(x)在［a,b］上可积，则f(x)在［,］[a,b]上可积．(2)f(x)在［
7、a,c］与［c,b］上可积，则f(x)在［a,b］上可积．＝推论3 若f(x)在［A,B］上可积，且a,b,c是［A,B］上任意三点则＝推论4 若f(x)在区间［］(k=1,2,…n)上都可积，则f(x)在[]上可积，且＝＋＋…＋1.4(保序性)f(x),g(x)k[a,b],x[a,b]有f(x)g(x)，则思考题：P293第4题。(保号性)f(x)k[a,b],x[a,b]有f(x)0(f(x)0),则０(０).证明：因为由f(x)在［a,b］上可积与极限的保号性＝可得证。1.5(绝对可积性)f(x)k[a,b]k[a,b]且。推论5 设f(x)
