定积分及其应用

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1、定积分的应用微积分基本公式定积分及其应用返回定积分的概念定积分的积分法定积分概念与性质返回曲边梯形面积定积分的概念几何意义定积分的性质一.引例曲边梯形面积1.曲边梯形:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形oxyy=f(x)ab如何求面积?返回2.思想方法（回顾割圆术）（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条在区间[a,b]中任取若干分点：把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间：返回过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0

2、y=f(x)返回（2）取近似:将这些细长条近似地看作小矩形xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ返回（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式它就是曲边梯形面积A的近似值，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ返回（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。小区间长度最大值趋近于零，即分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当其中为返回所有小区间的长度最大者,即时,和式极限就是A，即xy0y=f(x)ξｉf(ξ)ｉ返回二、定积分的概

3、念1.定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义。在区间[a,b]中任取分点将区间[a,b]分成n个小区间：其长度为返回如果和式极限存在,其中该极限值就称为f(x)在[a,b]上的定积分.记为返回f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积式，x称为积分量变量，[a,b]为积分区间，a,b分别称为积分下限与上限.积分符号下限上限被积函数被积表达式积分变量返回2.定积分定义说明：1）定积分表示一个数值，与被积表达式和积分上、下限有关，而与积分变量的表示无关。例如：2)规定：返回三、定积分的几何意义

4、A-AA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)>0y=f(x)<0xxyy00AA返回2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图3.结论：几何意义abxyy=f(x)0返回四、定积分的性质性质2:设f(x)在[a,b]上可积,则kf(x)在[a,b]可积,且性质1:设f(x)、g(x)在[a,b]上可积,则f(x)g(x)在[a,b]可积,且返回性质3:(可加性)设f(x)在[a,b]上可积,a

5、注意：C点既可为(a,b)内的点，也可为(a,b)外的点返回性质4:设在[a,b]上,f(x)1.则性质5:(比较性质)设f(x)、g(x)在[a,b]上可积,且f(xg(x).则返回性质6:(估值性质)设M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值及最小值,则(a

6、回积分中值性质的几何解释：[a,b]oxyy=f(x)返回例估计定积分的值解先求在[－1,1]上的最大值和最小值因得驻点x=0而f(0)=1,f(－1)=f(1)=1/e则m=1/e,M=1于是有返回微积分基本公式返回问题提出上限函数牛－莱公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题提出返回考察定积分记称为积分上限函数二、积分上限函数返回积分上限函数的性质证返回由积分中值定理得返回定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是

7、存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.返回定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式返回令令牛顿—莱布尼茨公式返回微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.返回例计算下列定积分解返回注意本题如不分段积分，则得如下错误结果：返回定积分的积分法返回换元积分法分部积分法定理一、换元积分法返回应用换元公式时应注意:（1）（2）返回例返回返回证返回注:上述结论可用于简化奇函数、偶函数在对称区间上的定积分计算，特别是奇函数，不需计算即得出结果.例解由于是奇函数,由上述

8、结论知:返回定积分的分部积分公式推导二、分部积分公式返回例返回例返回返回例返回定积分的应用返回定积分元素法平面图形面积旋转体体积其它应用举例定积分的元素法把曲线梯形的面积A表示为定积分(1)分割区间[a,b],有A对于[a,b]具有区间可加性。(2)计算Ai的近似值(3)求和,得A的近似值(4)求极限，得返回用[x,x+dx]表示任一小区间,A表示窄曲边梯形的面积，于是取[x,x+dx]的左端点x为，有称f(x)dx为面积元素，记为dA=f(x)dx,于是这种方