对弧长的曲线积分(1)

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1、§10.1对弧长的曲线积分一、概念的引进假设面内有一段曲线弧具有质量,在上任一点处的线密度为,且在上连续,与分别是弧的端点,现计算弧的质量。在上任意地插入个分点将分划成个小弧段。对于第个小弧段,由于线密度函数在上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于于是,整个曲线弧的质量近似值为用表示这个小弧段长度的最大者,即为了得到质量的精确值,只需对上述和式取极限,令,即(1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。【定义】设为面内的一条光滑曲线弧,函数在上有界,在内任意地插入点,它把分成个小弧段,设第个小段的长度为,为上任取的一点,记

2、作和式如果极限存在,这个极限值就叫做函数在曲线弧上对弧长的曲线积分,记作。亦即其中:叫做被积函数,叫做积分弧段。注记:1、中的被积函数的定义域为上的一切点。2、上述定义可类似地推广到空间曲线的情形,设是空间的一条光滑曲线,函数在上有界,则3、若为一条封闭曲线,一般将记为。二、对弧长的曲线积分的性质利用对弧长的曲线积分定义,我们可以证明下述性质1、2、若为常数,3、4、若在上,,则5、若,则上述性质均不加以证明,有兴趣的同学可以查阅有关书籍。三、对弧长曲线积分的计算法假设曲线由参数方程给出,且函数在上具有一阶连续导数；函数在上连续；当参数由变至时,依

3、点至点的方向描出曲线。在上取一系列的点设它们对应于一列单调增加的参数值依定义这里的,并设点对应于参数值则由弧长计算公式与定积分中值定理有从而(2)由于函数在上连续,在时,小区间的长度。那么在上,与只相差一个的高阶无穷小,因此,我们可以把(2)式右端的换成,有而右端和式的极限,就是函数在区间上的定积分。由于函数是连续的,故此定积分存在,因此,上式左端的曲线积分亦存在,且有(3)强调指出,(3)式中的定积分下限一定要小于上限,理由是(2)式中的由表达式给出,因小弧段的长度,从而因此利用(3)式,可导出如下几种对弧长的曲线积分计算公式1、曲线由方程给出时

4、,2、曲线由方程给出时,3、空间曲线由参数方程给出时,【例1】计算,其中为圆周【解法一】可化为参数方程【解法二】曲线关于轴对称,设是在轴上方的一支,则方程应为而被积函数在上关于轴偶对称,故【例2】计算半径为,中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度为)。解:建立如图所示的坐标系则而于是