高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系课堂探究 新人教b版必修2

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1、2.3.4圆与圆的位置关系课堂探究探究一　圆与圆位置关系的判断判断两圆的位置关系的方法有两种：(1)(几何法)利用两圆圆心之间的距离d与两圆的半径r1，r2的关系判断：①外离d>r1＋r2；②外切d＝r1＋r2；③相交

2、r1－r2

3、＜d＜r1＋r2；④内切d＝

4、r1－r2

5、；⑤内含d＜

6、r1－r2

7、.(2)(代数法)两圆的位置关系，可利用两圆方程所构成的方程组或的解判断，当方程组无解时，两圆外离或内含；当方程组有唯一解时，两圆外切或内切；当方程组有两解时，两圆相交．【典型例题1】已知圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.试判断两圆的位置关系，若有

8、交点，求出交点坐标．解：变为标准方程：C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.圆心坐标分别为(1,0)和(2，－1)，圆心距d＝，半径分别为r1＝2，r2＝.r1－r2＝2－，r1＋r2＝2＋，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以两圆相交．由解得或故其交点坐标为(3,0)，(1，－2)．②探究二　两圆的公切线问题求两圆的公切线时，要先判断两圆的位置关系，再确定公切线的条数．【典型例题2】(1)圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有(　　)Ａ.2条　B．3条　　C．4条　D．0条解析：由x2＋y2＋4

9、x－4y＋7＝0，得圆心和半径分别为O1(－2,2)，r1＝1；由x2＋y2－4x－10y＋13＝0，得圆心和半径分别为O2(2,5)，r2＝4.因为d(O1，O2)＝5，r1＋r2＝5，即r1＋r2＝d(O1，O2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．答案：B(2)判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的公切线条数，并求公切线的方程．思路分析：首先判断两圆的位置关系，得出公切线的条数，再求公切线方程．解：将圆C1化为标准方程：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，将圆C2化为标准方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，得圆C

10、1的圆心坐标：C1(－1,3)，半径r1＝6，圆C2的圆心坐标：C2(2，－1)，半径r2＝1.所以

11、C1C2

12、＝＝5.又

13、C1C2

14、＝

15、r1－r2

16、＝5，即两圆内切，所以圆C1与圆C2有一条公切线．公切线的方程为x2＋y2＋2x－6y－26－(x2＋y2－4x＋2y＋4)＝0，即3x－4y－15＝0.检验知直线3x－4y－15＝0是两圆的公切线．探究三　两圆的公共弦问题1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程：若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝

17、0.2．公共弦长的求法：(1)(代数法)将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)(几何法)求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．【典型例题3】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度．思路分析：只有当两圆相交时，才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，才能求公共弦的长度．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

18、0.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.又

19、C1C2

20、＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，所以r1－r2＜

21、C1C2

22、＜r1＋r2.所以两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法一：两方程联立，得方程组两式相减得x＝2y－4，③把③代入②得y2－2y＝0，所以y1＝0，y2＝2.故所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．所以两圆的公共弦长为＝2.方法二：两方程联立，得方程组两式相减得x－2y＋4＝0，即为两圆相交弦所在直线的方程．由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(

23、y＋5)2＝50，其圆心为C(1，－5)，半径r＝5.圆心C到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝，所以公共弦长为2.点评　求两相交圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长时，一般不用求交点坐标的方法求解，常用两方程相减消去二次项，得到公共弦所在直线的方程，再由勾股定理求弦长这种方法求解．探究四　利用两圆的位置关系求参数问题利用两圆位置关系求参数取值或范围的步骤：(1)化圆的方程为标准方程，写出圆心坐标和半径；