数值计算方法教案数值积分(1)

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1、第四章数值积分一．问题提出：（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。二．定积分的几何意义定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是，y=0，x=a，x=b。三．机械求积公式1.中矩形公式；几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。2.梯形公式梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：3.辛普生公式辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。4.求积公式的一般形式，其中称为节点，称为求积系数，或权。5.求积公式的代数精

2、度（衡量求积公式准确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。定义：若某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。例1．研究中矩形公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右；故中矩形公式具有1次代数精度。从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。例2．研究梯形公式的代数精度及

3、几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左右。故梯形公式也具有1次代数精度。从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。例3．研究辛普生公式的代数精度及几何意义。解：当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，公式左边，公式右边，左=右；当时，左右；故梯形公式具有3次代数精度。当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式

4、也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。6.求积公式的确定方法一：待定系数法。例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析：构造一次代数精度的公式，即当及时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。解：设积分公式为：。针对及，代入积分公式的左边和右边，有：，解得，于是有积分公式：。该公式即为梯形求积公式。例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。解：设积分公式为。针对，及，代入积分公式的左边和右边，有：，解得：，，积分公式为：该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。方法二，插值法（插值型求积公式），即过函

5、数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数，根据拉格朗日公式：，则有，其中，代数精度的分析：若被积函数是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。解释：若是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线，其中必有，即；同理，若是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数，其中必有，即。四．牛顿-柯特斯公式1.中矩形公式；几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。