实用数值计算方法-5-数值积分

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1、计算方法授课老师：聂德明nieinhz@cjlu.edu.cn仰仪北楼606计量测试工程学院NumericalMethod5数值积分与微分数值积分问题插值型求积公式复化求积公式预备知识牛顿―莱布尼兹公式如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹公式来求得定积分。预备知识积分中值定理若f是[a,b]上的连续函数，则存在ξ∈[a,b]，使预备知识广义积分中值定理若f在[a,b]上连续，g在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，存在ξ∈[a,b]，使预备知识介值定理设函数y=f(x)在[a,

2、b]上连续，μ介于f(a)与f(b)之间，则存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ数值积分问题牛顿―莱布尼兹公式找原函数很困难，有些原函数不能用初等函数表示原函数表达式过于复杂f(x)是由测量或计算得到的数据表预备知识积分中值定理若f是[a,b]上的连续函数，则存在ξ∈[a,b]，使积分--->代数yy=f(x)xbaoxk+1xkxk-1数值积分问题数值积分问题xk为求积节点，Ak为求积系数机械求积法插值型外推型插值型积分公式插值型积分公式定义设有计算的求积公式如其求积系数，则称此求积公式为插值型求积公式。插值型积分公式两点公式x0=a

3、,x1=b梯形公式：梯形公式x0x1y=f(x)L1(x)插值型积分公式插值型积分公式三点公式x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b辛普生公式：辛普生公式x0x2x1y=f(x)L2(x)插值型积分公式插值型积分公式定义如果一个求积公式(a)对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但至少对一个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。定理对于求积公式(a)具有m次代数精度的充分必要条件为该公式对f(x)=1,x,…..xm精确成立，而对f(x)=xm+1，不精确成立。插值型积分公式确定以下求积公式的代数精度插值型积分公

4、式插值型积分公式n+1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为n；插值型积分公式n+1个求积节点的插值型求积公式的代数精度至少为n；如果(a)式的代数精度为n，则(a)式必是插值型。插值型积分公式梯形公式的截断误差预备知识广义积分中值定理若f在[a,b]上连续，g在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，存在ξ∈[a,b]，使插值型积分公式梯形公式的截断误差复化积分公式梯形公式的截断误差辛普生公式的截断误差复化积分公式复化求积方法等分求积区间，比如取步长，分[a,b]为n等分，分点为,k=0,1,2,…,n2.在区间[xk

5、,xk+1]上求3.取和值，作为整个区间上的积分近似值复化积分公式复化梯形公式复化积分公式的截断误差复化梯形公式预备知识介值定理设函数y=f(x)在[a,b]上连续，μ介于f(a)与f(b)之间，则存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ复化积分公式的截断误差复化梯形公式复化积分公式的截断误差复化梯形公式复化积分公式复化辛普生公式记