高等数学-高等数学-第5章定积分

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1、章节第五章定积分§1定积分的概念与性质课时2教学目的掌握定积分的概念，性质及中值定理教学重点及突出方法定积分的概念，性质及中值定理教学难点及突破方法定积分的概念，性质及中值定理相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社教学过程教学思路、主要环节、主要内容我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。 设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。现在计算它的面积A.我们知道矩

2、形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？ 我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。 显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值

3、。为此我们产生了定积分的概念。定积分的概念：  设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

4、)在区间[a,b]上的定积分，记作。即： 定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。     （2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和。定积分的性质 性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差). 

5、         即： 性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.          即： 性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤ （a

6、基本公式教学重点及突出方法利用微积分的基本公式求定积分教学难点及突破方法变上限的积分求导公式相关参考资料《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社《大学数学概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，教学过程教学思路、主要环节、主要内容积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.现在我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分,我们知道f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此此定积分存在。 如果上限x在区间[a,

7、b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x): 注意：为了明确起见，我们改换了积分变量（定积分与积分变量的记法无关） 定理(1)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限的函数在[a,b]上具有导数，并且它的导数是 （a≤x≤b） 定理(2)：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 注意：定理（2）即肯定了连续函数的原函数是存在的，又初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。牛顿－

8、莱步尼兹公式定理　如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则　。　(1)证　已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数，也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即(2)，在上式中令x=a，得。又由F(x)的定义式及上节定积分的补充规定知F(a)=0，因此，C=F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F(x)，