高数辅导讲义(2)

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1、最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息第六章多元函数微分学§6．1多元函数的概念、极限与连续性甲内容要点一．多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。二元函数的图形为空间一卦曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。例如，二元函数的图形为以原点为球心，半径为的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为的闭圆。2．三元函数与元函数空间一个点集称为三元函数称为元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数

2、和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息二．二元函数的极限设在点的邻域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有则记以或称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在。值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要

3、求掌握各种方法和技巧。三．二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若则称在点处连续。若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。2．闭区域上连续函数的性质定理1．（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界.定理2．（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值（最大值），（最小值）定理3．（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值。若，则存在，使得最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息乙典型例题一．求二元函数

4、的定义域例1．求函数的定义域解：要求即；又要求即或综合上述要求得定义域或例2．求函数的定义域二．有关二元复合函数例1．设，求解：设，解出，代入所给函数化简故例2．设，求最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息例3．设，当时，，求函数和例4．设，当时，，求函数和。三．有关二元函数的极限例1．讨论（常数）解：原式而又原式例2．讨论例3．讨论例4．讨论最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信

5、息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息§6．2多元函数的偏导数与全微分甲内容要点一．偏导数1．定义设二元函数若存在，则记以，或或称为在点处关于的偏导数。同理，若存在，则记以，或或称为在点处关于的偏导数。类似地，设即即即2．二元函数偏导数的几何意义表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率3．高阶偏导数最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保

6、留本信息设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种。当，在处为连续则也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。类似地可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。也可以讨论元函数的高阶偏导数。二．全微分1．二元函数的可微性与全微分的定义设在点处有全增量若其中不依赖于只与有关，则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或2．二元函数的全微分公式最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息当在处可微时则这里规定自变量微分

7、，一般地3．二元函数全微分的几何意义二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。4．元函数的全微分公式类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下三．偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系设，则连续存在四．方向导数与梯度（数学一）1．平面情形在平面上过点沿方向的方向导数最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息在点处的梯度为而方向导数与梯度的关系为由此可见，

8、当的方向与