高数辅导讲义(1)

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1、最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息§8．1常数项级数甲内容要点一．基本概念与性质1．基本概念无穷多个数，依次相加所得到的表达式称为数项级数（简称级数）称为级数的前项的部分和。称为部分和数列。若，则称级数是收敛的，且其和为，记以若不存在，则称级数是发散的，发散级数没有和的概念。（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。）2．基本性质（1）如果和皆收敛，为常数，则收敛，且等于（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。（

2、3）收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。（4）级数收敛的必要条件是。（注：引言中提到的级数，具有不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，故最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息发散。调和级数满足，但却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件，而收敛性尚不能确定。）3．两

3、类重要的级数（1）等比级数（几何级数）当时，收敛；当时，发散。（2）—级数当时，收敛；当时，发散。（注：时，的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知。）二．正项级数敛散性的判别法若则称为正项级数，这时所以是单调增加数列，它是否收敛就只取决于是否有上界。最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息因此收敛有上界，这是正项级数比较判别法的基础。从而也是正项级数其它判别法的基础。1．比较判别法设，当时，

4、皆成立。如果收敛，则收敛；如果发散，则发散。2．比较判别法的极限形式设，，若（1）当时，与同时收敛或同时发散。（2）当时，若收敛，则收敛。（3）当时，若收敛，则收敛。3．比值判别法（达朗倍尔）设，而（1）当时，则收敛。（2）当（包括）时，则发散。最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息（3）当时，此判别法无效。（注：如果不存在时，此判别法也无法用。）4．根值判别法（柯西）设，而（1）当时，则收

5、敛。（2）当（包括）时，则发散。（3）当时，此判别法无效。事实上，比值判别法和根值判别法都是与等比级数比较得出相应的结论。应用时，根据所给级数的形状有不同的选择，但它们在情形都无能为力，数学上有更精细一些的判别法，但较复杂，对考研来说，不作要求。三．交错级数及其莱布尼兹判别法1．交错级数概念若，称为交错级数。2．莱布尼兹判别法设交错级数满足：（1）（2）则收敛，且最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请

6、保留本信息四．绝对收敛与条件收敛1．定理若收敛，则一定收敛；反之不然。2．定义若收敛，则称为绝对收敛；若收敛，而发散，则称为条件收敛。3．有关性质（1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。（2）条件收敛级数的正项或负项构成的级数，即或一定是发散的。4．一类重要的级数设（1）当时，是绝对收敛的。（2）当时，是条件收敛的。（3）当时,是发散的。乙典型例题一．主要用部分和数列的极限讨论级数的敛散性最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本

7、信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息例1．判定下列级数敛散性，若收敛并求级数的和。（1）（2）二．主要用判别法讨论级数的敛散性1．正项级数情形例1．若级数收敛，则（1）收敛（2）收敛（3）收敛证：(1)收敛，取，存在，当时，，于是再用比较判别法，由收敛可知收敛（2）（几何平均值算术平均值）已知收敛，收敛，故收敛，再用比较判别法，可知收敛最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息最新下载(NewDown.com.cn)中国最大、

8、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息（3），已知收敛，用比较判别法可知收敛。例2．判别下列级数的敛散性（1）(常数)（2）解：用比值判别法（1）当，则，故级数收敛当，则，故级数发散当时，，比值判别法无效但这时，即那么收敛的必要条件一定不满足，故级数也发散（2）故级数收敛§8