棱柱、棱锥、棱台复习

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1、棱柱、棱锥、棱台复习课董建钢教学目标1.理解棱柱(斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体等)、棱锥(一般棱锥、正棱锥)、棱台(一般棱台、正棱台)的有关概念；2.理解并掌握棱柱、棱锥的一般性质，掌握正棱柱、正棱锥、正棱台(尤其是正方体、正四面体)的性质；3.能够运用直线与平面的有关知识分析、论证多面体中的线面关系，并能熟练的进行有关棱柱、棱锥、棱台中侧棱、高、斜高、侧棱与底面、侧棱与侧棱、侧面与底面所成角的有关计算；4.掌握棱柱、棱锥、棱台的侧面积与全面积的计算；5.会解决棱柱、棱锥、棱台的对角面和平行于底

2、面的截面等有关问题，能熟练的解决其各种截面中直角三角形的有关计算，能有意识地将立体几何的计算问题转化为平面几何图形中的有关计算.教学重点和难点重点是能够熟练的将直线与平面的有关知识运用于棱柱、棱锥、棱台几何体中.难点是将立体几何的有关计算转化为平面几何图形中的有关计算.教学设计过程一、复习提问(用投影仪出示下列命题)例1 回答下列命题中条件是结论的什么条件(要求用充分非必要、必要非充分、充要条件作答)(1)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(2)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.(3)底面是正多边形的棱台是

3、正棱台.(4)有两个面平行且是相似的多边形，其余各个面都是等腰梯形的几何体是棱台.(该例题重点是检查学生对所学过的这三种几何体基本概念的理解与认识.故需找四名程度较差的学生作答)讲评.(1)必要非充分条件.因这两个侧面可以是相对的两个侧面.(2)必要非充分条件.因正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.(3)必要非充分条件.因正棱台的侧面是全等的等腰梯形.(4)必要非充分条件.因棱台的各条侧棱相交于一点.例2 集合A=｛斜棱柱｝，B=｛直棱柱｝，C=｛正棱柱｝，D=｛长方体｝.下面命题中正确的是(  ).(A

4、)CBD  (B)A∪C=｛棱柱｝  (C)C∩D=｛正棱柱｝ (D)BD(该例题重点是检查学生对所涉及到的这几个集合与集合中元素的理解与认识，所以在分析问题时只要用韦恩图把这几个集合间的关系清楚地表示出来即可找到正确的答案C，如图1)二、应用举例例3 一个斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4.若其中一侧棱与底面三角形的两边都成45°角，求这个三棱柱的侧面积.师:请学生们回答在求棱柱的侧面积时，我们首先想什么?生:形状.(即是什么样的棱柱，是直棱柱还是斜棱柱)师:考虑完形

5、状后干什么?生:找计算方法.若是直棱柱，利用公式S侧=C·L(其中C是底面周长，l为棱长)直接计算.若是斜棱柱，利用公式S=C直·L(C直是直截面的周长，l是棱长)求其侧面积.此外还可以求各侧面面积之和.师:下面我们按照上述两种方法分别计算这个棱柱的侧面积.解法一:如图3，作A1H⊥平面ABC于H.因为∠A1AB=∠A1AC，易证点H在∠BAC的平分线上.又ΔABC是正三角形.所以AH⊥BC.由三垂线定理有BC⊥A1A，又A1A∥B1B，因此BC⊥B1B.故侧面B1BCC1是矩形.所以 S=2×5×4

6、sin45°+5×4       =20+20.解法二:如图4，作BE⊥A1A于点E，连接CE.则易证ΔABE≌ΔACE.所以CE⊥A1A.所以A1A⊥截面BCE，故截面BCE为棱柱的直截面.BE=CE=.所以所求侧面积为S侧=CΔBCE·A1A=20+20.例4 已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为60°，求它的高、侧棱长及相邻两侧面所成的二面角大小.师:正三棱锥有什么特征.生:顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心.(即内心、外心、重心、垂心)师:由此我们得知:这个正棱锥

7、的高为顶点到底面射影的连线，故解决问题的关键是设出该棱锥的底面中心.解:如图.设点O为顶点在底面上的射影.因该棱锥为正三棱锥，所以O为底面正三角形的中心.连接SO、CO并延长CO交AB于D，连接SD，则CD⊥AB于D，SD⊥AB于D.(三垂线定理)所以∠SDC是侧面SAB与底面ABC所成二面角的平面角，即∠SDO=60°.因为 ΔABC是正三角形，且AB=a.因此 CD=a,CO=A.故 SO=OD·tg60°=a.SC==a.作BE⊥SC于E，连接AE，显然ΔACE≌ΔBCE，有AE⊥SC，故∠AE

8、B是三棱锥S-ABC相邻两侧面所成二面角的平面角.因为 SD==a,BE·CS=SD·AB，因此 BE=AE=，所以 cos∠AEB=.所以该三棱锥S-ABC的高为，侧棱长为a，相邻两侧面所成的二面角为arccos.讲评:一个三棱锥只要知道两个独立的条件，即两个独立的量(如此例中底面边长及侧面与底面所成的二面角60°)，就可以求出其它的各个量，计算中充分利用正棱锥的性质、通过高、侧棱、侧棱在底面上的射影所组成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影