数值分析》期末复习纲要

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1、《数值分析》期末复习纲要第一章数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设是精确值，是其近似值，则称是近似值的绝对误差，简称误差。特点：可正可负，带量纲。（2）相对误差：称是近似值的相对误差，若精确值未知，则定义。注:由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以

2、至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。（参见课堂练习、作业）第二章线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照

3、各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：应用实例：课堂例题；练习（二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。(每一步消元之前先按列选取主元)应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组改写成如下等价形式：（2）构造相应的迭代公式：（3）任取一初始向量代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列，如果该向量序列收敛于某一向量，即即为原方程组的解。在实际应用中，往往根据

4、精度要求，进行有限次迭代，求得方程组满足精度要求的近似解。（四）雅可比(Jacobi)迭代法迭代公式:（五）高斯-塞德尔迭代法迭代公式:（六）超松弛迭代法（SOR迭代法）迭代公式:应用实例：P56,例1（四）向量范数和矩阵范数三种常见的向量范数：,,常用的矩阵范数：P60一般迭代公式收敛的充要条件和充分条件P62,定理1,定理2基本要求1、能用高斯列主元消去法求解线性方程组。（参见例题，课堂练习，作业）2、能建立三种常用迭代公式,明确三种迭代公式之间的联系3、能计算向量、矩阵范数4、掌握一般迭代公式收敛的充要条件和充分条件第三章解非线性方程的

5、数值解法主要内容（一）解非线性方程的迭代法的基本原理，全局收敛定理P87：定理1的应用.(二)牛顿法基本要求1、能用全局收敛定理判定迭代公式收敛性（参见课堂练习，作业）2、能建立牛顿迭代公式第五章插值法主要内容（一）插值多项式的定义及存在唯一性（二）拉格朗日插值多项式：公式：余项：(三)分段线性插值,余项:（四）牛顿插值多项式：差商的定义，差商表的建立，牛顿插值多项式的建立（五）等距节点下的牛顿插值多项式：差分的定义，差分表的建立，等距节点下的牛顿插值多项式的建立(六)信息不完备的埃尔米特插值问题,P166-P167基本要求1、能建立拉格朗日

6、插值多项式、牛顿插值多项式、等距节点下的牛顿插值多项式。2、熟悉拉格朗日插值余项公式，并能应用拉格朗日插值余项公式解决相关问题。3、能解决信息不完备的埃尔米特插值问题第六章最小二乘法与曲线拟合主要内容（一）最小二乘原则:(二)最小二乘曲线拟合的基本步骤(三）一次多项式拟合的法方程组基本要求1、掌握最小二乘原则和最小二乘曲线拟合的基本步骤2、能进行一次多项式拟合第七章数值微积分主要内容（一）机械求积方法（二）求积公式的代数精度定义及应用实例（三）插值型求积公式（四）等距节点下的插值型求积公式：N-C公式（五）复化求积的基本思想复化梯形公式:复化

7、辛普生公式:实例：课堂例题基本要求：1、能用复化梯形公式，复化辛甫生公式求积分近似值。（参见课堂例题）2、判定数值求积公式具有几次代数精度；确定求积公式中的参数，使其代数精度尽量高。（参见课堂例题、作业）第八章常微分方程的数值解法1、单步法:欧拉公式、欧拉预估校正公式基本要求：能用欧拉预估校正公式求解微分方程。