研究生数值分析复习纲要

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1、1.数值分析的特点：a.首先要有可靠的理论分析，以确保算法在理论上的收敛性与数值稳定。b.其次要对计算结果进行误差估计，以确定其是否满足精度。c.还要考虑算法的运行效率，即算法的计算量与存储量。2.算法的数值稳定性：若某算法受初始误差或运算过程中的舍入误差影响较小，则称之为数值稳定的，反之称为不稳定算法。病态问题：若微小的初始的初始误差都会对最终结果产生极大的影响，则称之为病态问题（坏条件问题），否则称之为良态问题。3.Rung现象：高次插值的振荡现象。解决方法：（将[a,b]分成若干个小区间，在小区间内用低次插值，即）分段低次插值。4.Romberg求

2、积法与Gauss求积法的基本思想：a复化求积公式精度较高，但需事先确定步长，欠灵活性。在计算过程中将步长逐渐减半得到一个新序列，用此新序列逼近I的算法为Romberg求积法。b对插值型求积公式，若能选取适当的，(k=0,1,2,…,n)，使其具有2n+1阶代数精度，则称此类求积公式为高斯型，称为高斯点。5.Rung-kutta方法的基本思想：（截断误差）若某公式的截断误差为，则称此公式为p阶，考虑，所以，其中==称为平均斜率。借助于泰勒级数的想法，把表示为在若干点处值的线性组合，通过选取适当的组合的系数使公式达到一定的阶，就是Runge-kutta的基本

3、思想。6.插值与（拟合）的异同（逼近）：它们都是求某点值的算法。不同点是：a被插值函数是未知的，而被逼近的函数已知。b插值函数在节点处与被插值函数相等，即，而逼近函数的值只要满足很好均匀逼近即可。c求的方法不同。7.条件数及其作用：对可逆阵A，称为A的条件数。当A的条件数相对地大时，即>>1时，A是病态矩阵，或者说A是坏条件的。当A的条件数相对地小时，A是好条件的。A的条件数愈大，方程组的病态程度愈严重，也就愈难得到方程组的比较准确的解。8.迭代法的收敛性：定理1：若(1)对任意（压缩映射）(2)存在正数L<1，使对任意，有（Lipschitz条件）则对

4、任意，迭代收敛于的唯一根，且有误差估计定理2：若在附近连续，且<1，则在附近具有局部收敛性。定理3：若在附近连续，且，则在附近p阶局部收敛。1.误差的类型:模型误差、参数误差、截断（方法）误差（模型的准确解与数值方法准确解之间的误差）、舍入误差（实数形式的原始数据与有限字长计算机数据间的误差）。2.均差：称为关于的一阶均差，二阶均差，n阶均差3.差分：向前差分:向后差分:中心差分:二阶差分：n阶差分：性质：均差与差分的关系：（m=1，2，…，n）4.Lagrange插值：令基函数则构造5.牛顿插值：6.Legendre多项式性质：正交性奇偶性递推公式7.

5、Chebyshev多项式：令即,则性质：a.奇偶性：b.正交性：在上关于权函数正交，即c.递推公式：d.是n次多项式，首项系数为16.Chebyshev级数：，其中收敛速度快17.线性拟合的最小二乘法：，，18.若求积公式为插值型其代数精度至少为n。若对于不高于m次的多项式f(x),R[f]=0,而存在m+1次多项式f(x),R[f]≠0，则称此求积公式的代数精度为m。19.Newton-Cotes公式：对插值型求积公式取等距节点，则，，称之为Newton-Cotes公式。n=1时，，梯形公式；n=2时，，Simpson公式；n=3时，，Simpson-

6、法则。代数精度：20.复化梯形公式：复化Simpson公式：21.两点Gauss公式：三点Gauss公式：22.Euler公式：后退的Euler公式：梯形公式：23.改进的Euler公式：24.牛顿迭代公式：，收敛性：二阶局部收敛。25.高斯消去法的基本思想：将方程组约化为一个上三角形方程组，然后求解回带。24.经典四阶R-K公式：25.Jacobi迭代基本格式：或26.Gauss-Seidel迭代格式：或27.迭代公式收敛的充要条件：28.Jacobi迭代收敛的条件：若A严格对角占优，即，则Jacobi迭代收敛。29.Gauss-Seidel迭代收敛的

7、条件：若A对称正定，则G-S迭代收敛。30.逐次超松弛（SOR）迭代法的基本思想：计算表明，当阶数较高时，G-S迭代收敛速度仍较慢，可在G-S迭代基础加速——超松弛。用G-S迭代得出的结果不作为第k+1次结果，而仅作为中间结果,然后将与加权平均后才作为，即，=1时，即为G-S迭代，>1（<1）时称为超（低）松弛。31.SOR计算公式：，矩阵形式：32.SOR的收敛性：SOR收敛；SOR收敛；A对称正定且则SOR收敛。