洛必达法则(2)(1)

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1、第二节洛必达法则在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限.在那里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法.本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则.本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.分布图示★洛必达法则★例1-2★例3★例4★例5★例6-7综合应用★例8★例9★例10★例11★例12★例13★例14★例15★例16★例17★例18★例19★例20★例21★内容小结★课堂练习★习题3-2★返回内容要点

2、一、未定式的基本类型：型与型；二、未定式的其它类型：型，型，型(1)对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算.(2)对于型，可利用通分化为型的未定式来计算.(3)对于型，可先化以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为的形式，再化为或型的未定式来计算.例题选讲型例1(E01)求解原式例2(E02)求解原式注:上式中,已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.例3(E03)求解例4(E04)求.解注:若求为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得例5(E05)求解例6(E06)求.解原式例7(E07)求(n为正整数,).解反复

3、应用洛必达法则次，得原式注：对数函数、幂函数、指数函数均为当时的无穷大，但它们增大的速度很不一样，其增大速度比较:对数函数<<幂函数<<指数函数.例8求解注意到则有注:洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法,但若能与其它求极限的方法结合使用,效果则更好.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽可能应用，以使运算尽可能简捷.例9(E08)求解当时,故例10(E09)求.解所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为此式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:例11(E10)求(型)解对于型，可将乘积化为除的形

4、式，即化为或型的未定式来计算.例12(E11)求.(型)解对于型，可利用通分化为型的未定式来计算.例13求解例14求解原式直接用洛必达法则,计算量较大.为此作变量替换,令则当时,所以型步骤例15求解例16(E12)求.()解将它变形为由于故例17求解例18求解由于所以例19求解一利用洛必达法则.解二利用两个重要极限.例20(E14)求.(型)解例21求解因为所以课堂练习1.设有一阶导数,求2.设是未定式极限,如果的极限不存在且不为,是否的极限也一定不存在?举例说明.洛必达（L’Hospital，1661~1704）简介：洛必达(L’Hospital)是法国数学家，1661年

5、生于巴黎，1704年2月2日卒于巴黎。洛必达生于法国贵族家庭，他拥有圣梅特候爵，昂特尔芒伯爵称号。青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视自行告退，转向从事学术研究。洛必达很早即显示出其数学的才华，15岁时就解决了帕斯卡所进出的一个摆线难题。洛必达是莱布尼兹微积分的忠实信徒，并且是约翰.伯努利的高足，成功地解答过约。伯努利提出的“最速降线”问题。他是法国科学院院士。洛必达的最大功绩是撰写了世界上第一本系统的微积分教程--------《用于理解曲线的无穷小分析》。这部著作出版于1696年，后来多次修订再版，为在欧洲大陆，特别是在法国普及微积分起了重要作用。这本书追随欧几里得和阿基米

6、德古典范例，以定义和公理为出发点，同时得益于他的老师约翰.伯努利的著作，其经过是这样的：约翰.伯努利在1691-1692年间写了两篇关于微积分的短论，但未发表。不久以后，他答应为年轻的洛必达讲授微积分，定期领取薪金。作为答谢。他把自己的数学发现传授给洛必达，并允许他随时利用。于是洛必达根据约翰.伯努利的传授和未发表的论著以及自己的学习心得，撰写了该书。洛必达曾计划出版一本关于积分学的书，但在得悉莱布尼兹也打算撰写这样一本书时，就放弃了自己的计划。他还写过一本关于圆锥曲线的书——《圆锥曲线分析论》。此书在他逝世之后16年才出版。洛必达豁达大度，气宇不凡。由于他与当时欧洲各国主

7、要数学家都有交往。从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。