[数学]山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：椭圆教师版

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1、山东省2014届理科数学一轮复习试题选编：椭圆一、选择题．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）若椭圆:()和椭圆:()的焦点相同且.给出如下四个结论:①椭圆和椭圆一定没有公共点;②;③;④.其中,所有正确结论的序号是（　　）A．①③B①③④C．①②④D．②③④【答案】B．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为（　　）A．(0,B．()C．(0,)D．(,1)【答案】D【解析】根据正

2、弦定理得,所以由可得,即,所以,又,即,因为,(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为0,无意义)所以,即,所以,即,所以,解得,即,选D．二、填空题．（山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理科数学）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=______________.【答案】【解析】因为焦点在轴上.所以,所以.椭圆的离心率为,所以,解得.．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）如图,椭圆的左、右焦点为,上顶点为A,离心率为,点P为第一象限内椭圆上的一点,若,则直线的斜率为_

3、_____________.【答案】因为椭圆的离心率为,所以,即.设直线的斜率为,则直线的方程为,因为,即,即,所以,解得,(舍去)或,又,即,所以,解得,所以.三、解答题．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知椭圆,椭圆C2以C1的短轴为长轴,且与C1有相同的离心率.(I)求椭圆C2的方程;(II)设直线与椭圆C2相交于不同的两点A、B,已知A点的坐标为,点在线段AB的垂直平分线上,且,求直线的方程.【答案】．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学

4、）若椭圆:和椭圆:满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于、点(点在线段上).①若是线段上的一点,若,,成等比数列,求点的轨迹方程;②求的最大值和最小值.【答案】解:(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.则有解得.所求方程是(Ⅱ)①当射线的斜率不存在时,设点P坐标P(0,,则,.即P(0,)当射线的斜率存在时,设其方程,P(由,则得同理又点P在上,则,且由,即所求方程是.又(0,)适合方程,故所求椭圆的方程是②由①可知,当

5、的斜率不存在时,,当的斜率存在时,,,综上,的最大值是8,最小值是4．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题）已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.(1)求椭圆的方程:(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,,当内切圆的面积最大时.求内切圆圆心的坐标;(3)若直线与椭圆交于、两点,证明直线与直线的交点在定直线上并求该直线的方程.【答案】【解析】:(1)设椭圆方程为将、、代入椭圆E的方程,得解得.∴椭圆的方程(2),设边上的高为当点在椭圆的短轴顶点时,最大为,所以

6、的最大值为.设的内切圆的半径为,因为的周长为定值6.所以,所以的最大值为.所以内切圆圆心的坐标为(3)将直线代入椭圆的方程并整理.得.设直线与椭圆的交点,由根系数的关系,得直线的方程为:,它与直线的交点坐标为同理可求得直线与直线的交点坐标为下面证明、两点重合,即证明、两点的纵坐标相等:,因此结论成立.综上可知.直线与直线的交点住直线上．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,

7、各点均不重合且满足(1)求椭圆的标准方程;(2)若,试证明:直线过定点并求此定点.【答案】解:(1)设椭圆方程为,焦距为2c,由题意知b=1,且,又得所以椭圆的方程为(2)由题意设,设l方程为,由知∴,由题意,∴同理由知∵,∴(*)联立得∴需(**)且有(***)(***)代入(*)得,∴,由题意,∴(满足(**)),得l方程为,过定点(1,0),即P为定点．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2

8、的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.【答案】【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因为△AB1B2是直角三角形,又

9、AB1

10、=

11、AB2

12、,故∠B1AB2为直角,因此

13、OA

14、=

15、OB2

16、,得b=.结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,∴离心率e==.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,