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《伴随矩阵地性质及其的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实用标准文案伴随矩阵的性质及其应用摘要：伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。(1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质;(2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质;(3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵
2、的对称性、正定性、奇异性、正交性;(4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系;(5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质;(6)给出m重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m重伴随矩阵的相应的性质。本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。然而伴随矩阵在矩
3、阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中,常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少,以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质1、伴随矩阵的定义定义1.设是矩阵A=中元素的代数余子式，则矩阵A=称为A的伴随矩阵。定义2.设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵，记为B=。*注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2、伴随矩阵的性质性质1.设A为n阶方阵，AA=AA=E.精
4、彩文档实用标准文案证明：由行列式按一列（行）展开:AA=AA==E,其中=。性质2.n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A非退化，即.证明：若≠0，则A可逆，且=；反之，若A可逆，则有AA-1=E，所以
5、AA-1
6、=
7、A
8、
9、A-1
10、=1故
11、A
12、=0.即A非退化。性质3.1.若A为非奇异矩阵，则.证明：因为，由性质2两边取逆可得故，另一方面，由性质2有，由.性质3.2.设A为n阶矩阵，则秩A=.证明：（1）当秩A=时，则A是可逆的，即有存在，所以.可见，秩=。反之，当秩=n时，可逆时，则有存在，所以=,有0，因A=0，从而=0，这与秩=矛盾，所以0，于是秩
13、（A）=；（2）当秩（A）=时，则A必有一个阶子式不为0，即中至少有一个元素不为0，所以，秩（），另外秩（A）=.则=0，于是，从而，秩（A）+秩（）精彩文档实用标准文案反之，若秩（）=1，则中必有一个，即是说必有一个阶子式不为零，故秩但不能有秩（A）=，否则，有秩=，而这样与秩矛盾，所以秩（A），则（A），因此,秩（A）=.（3）当秩（A）<时，则A中一切阶子式均为0，于是一切所以，这时有秩反之，若秩则亦即A的一切阶子式为0，所以秩（A）<.该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵.性质4.秩.性质5.
14、=，其中A是n阶方阵（n2）.证明：若0，AA=E，===若=0，这时秩A1，=0，而也有=综合得=.性质6.若A是n阶非零实矩阵，.证明：用反证法，若令一方面，设A====0（2）由（2）式主对角元素均等于0，可得此即A=0，这与非零矩阵的假设矛盾，.条件A是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=则性质7.令A,B为n阶矩阵，则精彩文档实用标准文案（1）A对称（2）A正交（3）若A与B等价，则（4）若A与B相似，则（5）若A与B合同，则（6）A=B；（7）A正定（8）A为可逆矩阵（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称证明：这里只证（1），（2），其
15、余的这里就不再证明了。(1);(2)因为A是正交矩阵，故是正交矩阵.从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。性质8..性质9.一切（不一定A非奇异）都有证明：（i）当秩A=n时，用左乘式子A两边得，用A换A得，(ii)当秩An-1时，则秩则,综合即证该性质讨论了A的伴随矩阵的伴随矩阵和A的关系，一些问题会涉及此性质，应多加注意.性质10.若A为n阶矩阵，则=aA.(a为实数)精彩文档实用标准文案证明：设A=再设=，那么为行列式中划去第行和第i列的代数余子式（n
16、-1阶行列式），其中每行提出公因子a后，可得，由此即证=aA.数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很
