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1、第九章重积分与曲线积分教学与考试基本要求：1．理解二重积分的概念、几何意义，掌握二重积分的性质；2．会将二重积分化为二次积分，交换积分次序；3．会在直角坐标系和极坐标系下，计算二重积分.9.1二重积分的概念与性质一、主要内容回顾表9.1二重积分的概念与性质定义设在有界闭区域内有界.将任意分成个小闭区域,任取,作记,若有确定的值,则称该值为在区域上的二重积分,记为,即=.几何意义当,表示以区域为底,曲面为顶的曲顶柱体的体积.当时,=区域的面积.存在性若在有界区域上连续,则存在.性质运算性质可加性设,则=有序及估值性若在区域上,,则;若在区域上,,则.中值定理若在有界闭区域上连续,是的面
2、积,则存在,使=.25二、本节基本考试题型及配套例题题型1.利用二重积分的几何意义确定下列积分的值.(1),其中;(2),其中.解(1)曲顶柱体的底为圆盘,顶是下半圆锥面,故曲顶柱体为一底面及高均为R的圆锥体,所以=.(2)曲顶柱体的底为圆盘,顶是下半球面,故曲顶柱体是以R为半径的半球体,所以=.题型2.利用二重积分的性质估计下列积分的值.(1),其中,.(2),其中.解(1)在区域内,有,所以.(2)在区域内,有,所以.三、习题选解(习题9–1)1．用二重积分表示下列曲顶柱体的体积，并用不等式组表示曲顶柱体在坐标面上的底． （１）由平面所围成的立体； （２）由椭圆抛物面及平面所围成
3、的立体．25解（1）因为与平面的交线为则此曲顶柱体在坐标面上的底为：．（2）因为椭圆抛物面与平面的交线为椭圆则此椭圆抛物面在坐标面上的底为：．２．利用二重积分性质比较与的大小，其中由轴、轴及围成．解因为当点时，有所以．３．利用二重积分的几何意义，不经计算，直接给出下列二重积分的值：（１），；（２），．解 (1)因为，而表示半径为1的圆，所以从而．（2）根据二重积分的几何意义，，表示半径为的半球的体积．所以．9.2二重积分的计算一、主要内容回顾表9.1二重积分的计算法直角坐（1）若区域为型，即25标系则=（2）若区域为型，即则=极坐标系（1）极点在外,即=;（2）极点在的边界上,即=;
4、（3）极点在内,即=.对称性关于轴对称（1）如果对任意一点则;（2）如果对任意一点则其中为位于轴右边的那一部分.关于轴对称(1)如果对任意一点则;(2)如果对任意一点则其中为位于轴上边的那一部分.25关于原点轴对称(1)如果对任意一点则;(2)如果对任意一点则=2其中为位于轴右边的那一部分,为位于轴上边的那一部分.二、本节基本考试题型及配套例题题型1.改变下列二次积分的次序.(1);(2);(3);(4).解(1)积分区域见图形9.1,表示成型区域为,于是=.(2)积分区域见图形9.2,表示成型区域为,于是=.(3)积分区域见图形9.3,表示成型区域为,于是=.(4)积分区域D见图形
5、9.4,表示成型区域需将区域D分成两部分:25,,于是=+.题型2.在直角坐标系下计算下列二重积分.1.其中是由直线与双曲线所围成的区域.2.其中是由直线所围成的区域.3.其中是由与所围成的区域.解(1)积分区域D见图形9.5.先关于积分,然后再对积分,则=.(2)积分区域D见图形9.6.先关于积分,然后再对积分,则====(.(3)积分区域D见图形9.7.先关于积分,然后再对积分,则由对称性有25=但这个二次积分不易计算,我们改为先关于积分,然后再对积分,则由对称性有==.题型3.在极坐标系下计算下列二重积分.1.,其中是由圆周,与直线所围成在第一象限内的区域.2.,其中是由圆周所
6、围成的区域.解(1)在极坐标系下,积分区域D见图形9.8,且,于是====.(2)在极坐标系下,积分区域D见图形9.9,且,于是=25=======.三、习题选解(习题9–2).1．把二重积分化为二次积分．其中积分区域是：（１）由曲线与围成的区域；（２）由曲线与围成的区域；（３）由曲线，围成的区域；（４）由，围成的区域．解（1）曲线与的交点坐标为所以．（2）曲线与的交点坐标为所以．25（3）曲线与的交点坐标为所以．（4）．２．改变下列二次积分的积分次序．（１）；（２）；（３）；（４）．解（1）．（2）．（3）．（4）．３．画出下列二重积分的积分区域并计算：（１），，；（２），由，，所
7、围成；（３），；25（４），由，，，围成．解（1）．（2）．（3）．（4）．４．画出下列积分区域，把二重积分化为极坐标系中的二次积分（先积，后积）．（１）；（２）由围成；（３）．解（1）．25（2）．（3）．５．画出下列二重积分的积分区域，并计算：（１），；（２），；（３），；（４），．解（1）．（2）．（3）．25（4）．9.3二重积分的应用一、主要内容回顾表9.1二重积分的应用几何应用体积以区域为底,曲面为顶的曲顶柱体的体积为曲面面积设曲面的方程为，它
