课函数的单调性极值和最值

《课函数的单调性极值和最值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第12课函数的单调性、极值与最值【课前自主探究】※考纲链接（1）理解可导函数的单调性与其导数的关系，并能利用导数判定函数的单调性；（2）了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；※教材回归◎基础重现：1．用导数研究函数的单调性：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．其一般步骤为：（1）确定函数的定义域；（2)求导数；(3)在函数的定义域内解不等式和；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．2．函数的极值：如果在函数的定义域D内存在，使得在附近的所有点，都有，则称函数在点处取得极大值，记作，并把点称为函数的一个极大值

2、点；如果在附近都有，则称函数在点处取得极小值，记作，并把点称为函数的一个极小值点．求函数极值的步骤：(1)求导数；(2)求方程的所有实数根；(3)观察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化，如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值；如果的符号在的两侧附近相同，则函数在点处不存在极值．3．函数的最值：如果在函数的定义域内存在，使得对定义域内任意一个，都有成立，则称是函数的最大值，记作；12如果在函数的定义域内存在，使得对定义域内任意一个，都有成立，则称是函数的最小值，记作．基础重现答案：1．；．2．；；；．3．；；；．◎思维升华：1．求函数极大(小)值时，值得注意的问题是什

3、么？若函数处有极小值10，则a+b的值为___．2．怎样求函数在区间上的最大值与最小值？思维升华答案：1．一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！－7．2．求函数在区间上的最大值与最小值，其一般步骤为：(1)求在区间上的极值；(2)将第一步中求得的极值与进行比较，得到在区间上的最大值与最小值．※基础自测1．函数的单调增区间为，单调减区间为．答案：2．函数f(x)＝1+x-sinx在(0，2π)上是．(填写函数单调性)答案：增函数解析：f′(x)＝1-cosx＞0，∴f(x)在(0，2π)上递增．3．函数y＝lnx-x在x∈(0，e］上的

4、最大值为______________．答案：－1解析：，令y′＝0，∴x＝1．又在(0，1］上y′＞0，在［1，e］上y′＜0，∴函数在x＝1处取极大值，同时是最大值，此时y＝-1．4．函数f(x)＝ax3-x在(-∞，+∞)内是减函数，则．答案：a≤0解析：f′(x)＝3ax2-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，即在(-∞，+∞)上恒成立，而，∴a≤0．5．(2010·广东模拟)设a∈R，若函数y＝eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则的取值范围答案：a＜－3解析：y′＝a·eax+3＝0，当a＝0时，显然不合题意，∴a≠0．12∴．∴．由题意，得，∴∴a＜-3．【课堂师生共探】※经典例题○

5、题型一用导数研究函数的单调性例题1已知．（1）求的单调区间；（2）若在定义域R内单调递增，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．分析：通过对的正、负号的讨论得的单调区间；若函数在某个区间上单调，则其导函数在这个区间上大于等于零(或小于等于零)恒成立．解：．（1）若，则恒成立，所以在R上递增．若，则由，得．∴的单调递增区间为．由，得．∴的单调递减区间为．（2）∵在R内单调递增，∴≥0在R上恒成立．∴，即在R上恒成立．∴，又∵，∴a≤0．（3）方法1由题意知在（-∞，0］上恒成立．∴在

6、（-∞，0］上恒成立．∵在（-∞，0］上为增函数．∴x=0时，最大值为1．∴a≥1．同理可知在［0，+∞）上恒成立．∴在［0，+∞）上恒成立．∴a≤1，∴a=1．方法2假设存在符合条件的实数a，则x=0为的极小值点．∴，即，∴a=1．经验证a=1满足条件．点评：通过解不等式12，来确定函数的单调增(或减)区间，注意对参数的讨论，反之若函数在在区间上单调递增(或减)，则由在这个区间上恒成立，而求出参数的值．变式训练（2010·湖南文数）已知函数其中a<0，且a≠-1．讨论函数的单调性；解析：的定义域为．．（1）若，则当时，；当时，；当时，．故分别在上单调递增，在上单调递减．（2）若，仿（1

7、）可得分别在（0，1），上单调递增，在上单调递减．○题型二用导数研究函数的极值和最值例2已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l：3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值．（1）求a，b，c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值．分析：对导数为零的点的左右两侧的导数符号的判断来确定是否是极值，是极大值还是极小值；求函数在区间上的最值