函数单调性及其极值、最值

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1、函数单调性及其极值、最值定理1设函数在上连续，在区间内可导，（1）如果在内，则在上单调增加；上单调减少。（2）如果在内,则在一、函数单调性的充分条件证存在使得又因为即故所以在上单调增加。（1）设在区间内,在两点,由拉格朗日中值定理且内任取即当同理可证（2）.确定函数的单调性的一般步骤：1、确定函数的定义域；2、求出使函数并以这些点为分界点，将定义域分成若干个子区间；3、确定在各个子区间的符号，从而判断出的单调性。例1确定函数的单调区间。解的定义域是令，得，又处导数不存在，，这两点将分成三个区间

2、，列表分析在各个区间的符号：由表可知，的单调增加区间为和，单调减少区间为。例2.确定函数的单调区间.令得故的单调增区间为的单调减区间为解的定义域是例3解这三个点x=－1，0，1将y的定义域　　　　分为　　　　　　　　四个子区间.x－１01－0+不存在－0+y所以函数的单调递增区间为.单调递减区间为.如果F(x)满足下面的条件：设F(x)=f(x)－g(x)其基本方法是：往往可以利用单调性证明不等式例4证明：二、函数极值及其求法1、函数极值的定义定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果对于该

3、邻域内任何异于x0的x都有(1)成立，则称为f(x)的极大值，称为f(x)的极大值点；(2)成立，则称为f(x)的极小值，称为f(x)的极小值点.极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.注意：极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。为极大点为极小点不是极值点定理2（极值的必要条件）如果函数在点处可导，且在点取得极值，则。使的点称为函数的驻点。注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点.例如为其驻

4、点，但是x=0不是的极值点.定理3(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(4)判定每个驻点和导数不存在的点两侧(在xi较小的邻域内)的符号，依定理3判定xi是否为f(x)的极值点.由定理3判定函数极值一般步骤为：(1)求函数的定义域例5求函数的极值。解的定义域是令，得驻点，而时不存在。因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：不存在由表可知，在处取得极大值，在处取得极小值。函数的图形如图01x1y例6.求函数的极值.令得列表得是极大点，其极大值为是极

5、小点，其极小值为解的定义域是定理4(判定极值的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且则由定理4判定函数极值一般步骤为：1、确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；2、考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；3、求出极值点处的函数值，得到极值。例7所给的函数定义域为.解函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函数值相比较，其中最大的就是函数在上的最大值，最小的就是函数在上的最小值。三、函数的最值闭区间[a，b]上的连续函数最值求法：

6、例8、求函数在区间上的最大值与最小值。解比较可知，在上最大值为，最小值为令得驻点:若函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最大值或最小值。例9将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的容积最大？解如图设小正方形的边长为x，则盒底的边长为令，得（舍去）。又所以函数在处取得唯一极大值，此极大值就是最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的时，所做的方盒容积最大。ax

7、方盒的容积为：例10制作一个容积为的圆柱形密闭容器，怎样设计才能使所用材料最省？解如图，设容器的底面半径为，高为，则表面积为所以令，得驻点hr由已知得故所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。S有唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因此求得的驻点为最小值点，此时