第1章周期性问题

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1、周期性问题专题要点：事物在运动变化中，某些特征循环往复出现，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题。例如，12个月是一年，年年如此；7天是一周，周周一样；24小时是一昼夜，天天相同……这些问题都属于周期问题。。在研究周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，只要发现问题的周期性并确定周期，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果，从而解决问题。例1：甲、乙两人对一根长3米的木棍涂色。首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底；然后，乙从木棍

2、同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底；最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？思路分析通过下图来帮助分析本题。05101520253035404550556006121824303642485460由上图可知，应是5与6的最小公倍数的2倍，即5×6×2＝60(厘米)，也就是它们按60厘米为周期循环出现，并且在每一个周期中没有涂色的部分是1+3+5+4+2＝15（厘米）。所以，在长3米的木棍上没有涂黑色的部分长度总和是5个15厘米，即75厘米。解：300÷60=51+3+5+4+2=15

3、（厘米）15×5=75(厘米)答：木棍上没有被涂黑部分的长度总和为75厘米。举1反3：1.143位同学，他们身上带的钱从8角到5元都不相同，每位同学把身上的全部钱各自买了画片。画片只有两种，3角一张和5角一张的，每人都尽量多买5角一张的画片，他们所买的3角画片的总数是多少张？（每人所带的钱都是整角数。）1.2大雪后的一天，小明和他的爸爸共同步测一个圆形花坛的周长。他们从同一起点出发，向同一方向行走，小明平均步长54厘米，爸爸平均步长72厘米，由于两人的脚印有重合，并且他们各自走完一圈后都回到了起点，这时雪地上共留下60个脚印。这个花

4、坛的周长是多少米？51.3哲东和哲玖二人对一根长48分米的木棍涂色，哲玖从木棍端点开始按涂黑3厘米、不涂3厘米的顺序交替去做，哲东从木棍的同一端点按先不涂4厘米、再涂4厘米的顺序交替去做，最后，两人完工后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为多少厘米？例2：设n=2×2×2×……×2，那么n的末两位数字是多少？2007个2思路分析：想把这道连乘算式的乘积算出来，那将是很麻烦的一件事，也没有必要。我们解决此类复杂的问题，可以从简单的入手，将若干个2的连乘积的末两位依次列表如下：nn的末位nn的末位029604920884166832366

5、47228445688127624524804观察上表，容易发现从开始每隔20个2的连乘积，末两位就重复出现，周期为20，找到了周期，问题就好解决了。解：末两位出现的周期为:04，08，16，32，64，28，56，12，24，48，96，92，84，68，36，72，44，88，76，52。(2007-l)÷20=100……6所以的末两位是周期中的第6个的末两位数字，即为28。举1反3：2.1如果A=2×2×……×2，那么A的末两位数字是多少？1999个22.2如果B=3×3×……3，那么B的末位数字是多少？2007个352.3如

6、果N=4×4×……×4，那么N的末两位数字是多少？2009个4例3：有一列数是：23，34，57，91，l48……从第三个数起，每一个数都是它前面两个数的和。那么这列数的第l00个数除以3的余数是几？思路分析：直观条件中根本找不到循环的迹象，所以感到无从入手，因此要通过其他渠道来找循环的踪迹。题中让我们求第100个数除以3的余数，我们可以先算出前面一些数除以3的余数，从而发现其中的循环节。有计算可知，前面一些数除以3的余数分别是：2，1，0，l，1

7、，2，0，2，2，1，0，1，l，2，0，2……由观察可以看出，上列数每经过8个就循

8、环出现一次。所以，要求第100个数除以3的余数，就要用100除以8，除得的余数是几，第100个数除以3的余数就从循环节中的第一个数开始向后数几个数。因为l00÷8=12……4，所以第100个数除以3的余数是1。举1反3：3.1有一列数是：1，2，3，5，8，13，21……从第三个数起，每一个数都等于它前两个数的和。这列数的第2008个数是奇数还是偶数？3.2有一列数是：1，1，2，1，2，3，1，2，3，4……问：第一次出现的39是第几个数？3.3有一列数是：9，8，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8……从第三个数起，每

9、一个数都等于它前两个数字相乘积的个位数。这列数的第2009个数是什么？例4:把自然数排列成如下所示的表格，第一行的第2009个数是多少？1251017……4361118……9871219……1615141320……2524232221