7-7-5容斥原理之最值问题教师版

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1、7-7-5.容斥原理之最值问题1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.—两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AB=A+B-AB（其中符号“"读作“并"，相当于中文“和”或者“或"的意思；符号“”读作“交"，相当于中文“且"的意思・）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理.图示如下：A表示小圆部分，B表示

2、大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB,即阴影面积.图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A3,即阴影面积.重叠部分AB计算了2次，多加了1次;2.再排除A+B-AB把多加了1次的重叠部分AB减去.cfVAflBDc包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合久B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=AB（意思是“排除”

3、了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、8类、C类的元素个数.用符号表示为：4BC=A+B+C-AB_BC-AC+ABC.图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数,大圆表示C的元素的个数.1.先包含：A+B+C重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次.2.再排除：A+B+C—AB-BC-AC重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A+B+

4、C-AB-BC-AC计算时都被减掉了.3.再包含：A+B+C-AB-BC-AC+ABC.在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考.【例1]“走美”主试委员会为三〜八年级准备决赛试题。每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。如果每道题出现在不同年级，最多只能出现3次。本届活动至少要准备道决赛试题。【题型】填空【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用4道题目，总共有8x6+4x

5、2=56(道)题目。【答案】56题【例2]将1〜13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13x4+(12+11+10+9)x3+(8+7+6+5)x2+(4+3+2+1)二240.【答案】240【例3]【考点】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星.如果每条线段上恰有19

6、94个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个？容斥原理之最值问题【解析】【答案】如下图，下图中位置均有两条线段通过，也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有1994x5-(2-1)x10=9960个.9960【例4]某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球.那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【題型】填空【解析】(法1)首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳

7、的有27人，会骑自行车的有33人,而总人数为48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27+33-48=12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12+40-48=4人.该情况可以用线段图来构造和示意：48

8、—*48人一33人一40人23J24总人数即.27[28游泳•一27人自行车游泳••(法2)设三项运动都会的人有x人，只会两项的有y人，只会一项的有z人,那么根据在统计中会〃项运动的学生被统计〃次的规律有以下等式：3兀+》+z=2_7+3：0由第一条方

9、程可得到z=100-3x-2y,将其代入第二条式子得到：10-0x-2y<，即2x+y>52①而第二条式子还能得到式子兀+y<48,即2x+y<48+x②联立①和②得到48+x>52,即x>4.可行情况构造同上.【答案】4【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的