奥数：四级奥数.计数综合.组合（a级）.学生版

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1、组合考试要求1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．知识结构一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题

2、．一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数

3、．这个公式就是组合数公式．一、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法．表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法．例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即．规定，．二、插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，

4、已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：（1）个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．（2）个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为．（3）个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法的数目为．一、排除法对于某些

5、有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．重难点（1）组合数公式（2）插板法例题精讲一、组合之计算问题【例1】计算：，【巩固】计算：，．【例1】计算：⑴；⑵；⑶．【巩固】计算：⑴；⑵；⑶．一、组合之基本应用【例1】某校举行排球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【巩固】芳草地小学举行足球单循环赛，有个队参加．问：共需要进行多少场比赛？【例1】从分别写有、、、、的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？【巩固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数

6、字，一共有多少种方法？【例1】在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？【例2】在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？【巩固】某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？一、组合之插板法【例1】有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【巩固】小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有

7、多少种不同的吃法？【例2】10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？【巩固】将个相同的苹果放到个不同的盘子里，允许有盘子空着。一共有种不同的放法。【例1】把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？【巩固】三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？【例1】(1)小明有1