高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理学案 北师大版选修

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求§5　二项式定理学习目标重点难点1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关问题．3．会用二项式定理找等量关系.重点：二项式定理．难点：二项式定理的应用.1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．(a＋b)n的二项展开式共有n

2、＋1项，其中各项的系数C(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，Can－rbr称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式：(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxr＋…＋xn.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，Tr＋1＝Can－rbr，其中Tr＋1为二项展开式的第r＋1项，a，b的指数和为n.2．二项式系数的性质C＝C＋C；C＝C；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.预习交流2如何证明C－C＋C－C＋…＋(－1)n＋

3、1C＝0.提示：令二项展开式中的a＝1，b＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法1：4＝C(3)4·0＋C(3)3·1＋C(3)22＋C(3)·3＋C(3)0·4＝81x2＋108x＋54＋＋.方法2：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋＋.求二项式10的展开式中的常数项．解：设第r＋1项为常数项，配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们

4、的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求则Tr＋1＝C·(x2)10－r·r＝C··r(r＝0,1,2，…，10)，令20－r＝0，得r＝8，所以第9项为常数项，常数项为C×8＝.　　利用二项展开式的通项公式求二

5、项展开式中具有某种特性的项是一类典型的问题，通常的解法就是确定通项公式中的r的值或取值范围．但需注意二项式系数与项的系数及项的区别与联系．2．二项式系数的性质如果(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7的值等于(　　)．A．－2B．－1C．1D．2思路分析：比较展开式与a1＋a2＋…＋a7的结构，会发现当x＝1时，含有a1＋a2＋…＋a7，即(1－2)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.从而只要求出a0＝1即可．答案：A解析：令x＝0，得(1－2×0)7＝a0，∴a

6、0＝1.再令x＝1，则有(1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1－a0＝－1－1＝－2.设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．(1)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．(2)求

7、a0

8、＋

9、a1

10、＋

11、a2

12、＋…＋

13、a2010

14、的值．解：(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2010＝(－1)2010＝1.②

15、由①②，得2(a1＋a3＋a5＋…＋a2009)＝1－32010，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.(2)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N＋)．∴

16、a0

17、＋

18、a1

19、＋

20、a2

21、＋

22、a3

23、＋…＋

24、a2010

25、＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.　　求展开式的系数和，关键是字母赋值，赋值的选择需根据所求的展开式系数和特征来定．一般地，多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的各项系数和为f

26、(1)，奇次项系数和为，偶次项系数和为.1.n(n∈N＋)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值为(　　)．A．3B．5C．8D．10答案：B解析：Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·C·x3n－5r.令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r，n∈Z，∴n的最小值为5.2．(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(　　)．A．－4B．－2C．2D．4配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神