高中数学 第五章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入例题与探究 北师大版选修

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1、高中数学第五章数系的扩充与复数的引入1数系的扩充与复数的引入例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.含有参数形式的复数何时表示实数、虚数、纯虚数.此类问题是涉及到复数的分类及各自概念,在理解的基础上注意它们的联系与区别,以此作为判断它们为实数、虚数、纯虚数的条件.复数z=a+bi当且仅当b≠0时为虚数,当且仅当b=0时为实数,当且仅当a=0,b≠0为纯虚数,当且仅当a=0,b=0时为0.下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m为何值时表示实数、虚数、纯虚数为例说明.(1)若表示实数则:m2+5m+6=0

2、(即虚部必须为零);(2)若表示虚数则:m2+5m+6≠0(即虚部不能为零);(3)若表示纯虚数则:3m+9=0且m2+5m+6≠0(即实部必须为零,虚部不能为零).2.两个复数相等的充要条件及应用时应特别注意的问题.因为复数可以用向量来表示,所以可以结合向量相等来理解.在向量坐标表示中,两个向量相等则对应坐标要相等.两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a、b、c、d∈R,即当a、b、c、d∈R时,a+bi=c+di但忽略条件后,则不能成立,因此解决复数相等问题,

3、一定要把复数的实部与虚部分离出来.再利用复数相等的充要条件,化复数问题为实数问题.3.复系数一元二次方程根的问题与实系数一元二次方程根的问题.利用复数相等可解决复系数方程根的问题,如果复系数方程有实根,我们将其中的未知数视为等式中的一个实数,将方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.这里要特别注意,方程有实根务必注意不能用判别式Δ≥0来处理方程的根的问题,否则出错.如果复系数一元二次方程无实根,则同样不能用Δ<0来处理.此时,方程有复数根,可设方程的根为z=m+ni(m,

4、n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为a+bi=0(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.另外,当实系数一元二次方程无实根时,方程的判别式Δ<0,此时虽无实根,但有虚数根,如实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)无实根,则其有两个虚根,分别为:x=.当然,也可以设方程的根为z=m+ni(m,n∈R),然后,化简方程,使方程变形化简为s+ti=0(s,t∈R)的形式,然后利用复数相等即可解决相关问题.高手支招4典例精析【例1】如果用C、R和I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其

5、中C为全集,那么有（）A.C＝R∪IB.R∩I＝{０}C.R＝C∩ID.R∩I＝思路分析:复数系的构成是复数z=a+bi(a,b∈R)由此不难判断正确答案为D项.答案:D【例2】若z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+isinθ,当z1=z2时θ的值为（）A.kπB.2kπ+C.2kπ±D.2kπ+(以上k∈Z)思路分析:由已知z1=z2,利用复数相等的充要条件,然后解三角方程即得.∵z1=z2,∴θ=2kπ+（k∈Z）.故选D项.答案:D【例3】m为何实数时,复数z=+(m2+3m-10)i(1)是实数

6、;(2)是虚数;(3)是纯虚数.思路分析:利用复数分类,是实数,只要令复数z的虚部为零即可;是虚数,只要令复数z的虚部不为零即可;是纯虚数,只要令复数z的实部为零,虚部不为零即可.解:(1)令m2+3m-10=0,得m=2或m=-5.∵分母m2-25≠0,∴m≠-5.∴m=2;(2)令m2+3m-10≠0,又分母m2-25≠0,得m≠2,且m≠-5,且m≠5;(3)令m2+3m-10≠0,得m=.【例4】当实数m为何值时,复数(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面中的对应点(1)位于第四象限;(2)

7、位于x轴的负半轴上:思路分析:复数a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点：对于(1)应满足对于(2)应满足解:(1)由已知∴∴-7

8、后寻求x,y之间的关系,但要注意参数限定的条件.解:a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1.由此可知,z的实部为正数,z的虚部为负数.∴复数z的对应点在第四象限.设复数z=x+yi(x,y∈R),则消去a2-2a得y=-x+2(x≥3),∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).【例6】用复数表示下图各题