立体几何的综合问题-2019届高考数学（文）提分必备30个黄金考点 ---精校解析Word版

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1、【考点剖析】1.命题方向预测：纵观近五年的高考命题，文科立体几何高考命题的热点主要有四个．一是以考查点、线、面的位置关系为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；二是以考查三视图与面积体积计算为主的简单题，基本题型为选择题或填空题；三是以考查平行、垂直关系为主的中档题，其基本题型为解答（证明）题，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力；四是以考查平行、垂直关系及面积或体积计算为主的中档题，“证算并重”考查逻辑推理能力、空间想象能力以及运算求解能力．关于垂直关系的证明多于平行关系的证明，体积计算的考查多于面积计算的考查，较少涉及角或

2、距离的计算.2.考点交汇展示：(1)立体几何与最值交汇【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A.B.C.D.【答案】B，故选B.（2）立体几何与基本不等式交汇【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形，，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A本题选择A选项.【考点分类】考向一立体几何与球有关的最值问题1.【2018届河南省八市重点高中高三9月测评】三棱锥的一

3、条长为，其余棱长均为，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】不妨设底面积不变，高最大时体积最大，所以，面ACD与面ABD垂直时体积最大，2.【2018届河南省洛阳市高三期中】已知菱形边长为2，，将沿对角线翻折形成四面体，当四面体的体积最大时，它的外接球的表面积为__________．【答案】【解析】当平面平面时，四面体体积是最大，当体积最大时，设外心为，外心为，过，分别作平面面与平面的垂线交于，则即是外接球的球心，，外接球表面积，故答案为.【方法规律】(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切

4、问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．（3）立体几何中的最值问题，往往要考虑点线面位置的“极端情况”.【解题技巧】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切

5、于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.考向二空间平行、垂直关系与几何体的体积问题1.【2018年全国卷II文】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【解析】如下图所示，，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.2.【2018届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体高考冲刺】如图，在四棱锥中，底面为平行四形,,,,，且底面.(Ⅰ)证明：平面；（Ⅱ）若为的中点

6、，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析.(2).【解析】（Ⅱ）因为为的中点,所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而.所以三棱锥的体积.【方法规律】(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．【解题技巧】求

7、多面体的外接球的面积或体积问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.考向三空间平行、垂直关系与几何体的面积问题1.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学

8、高考综合卷（一）】设正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，分别是，的中点，，且，则球的表面积为__________．【答案】【解析】2.【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图，在底面为矩形的四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若，平面平面，求三棱锥与三棱锥的表面积之差.【答案】(