2015年清华大学自主招生试题 数学 ---精校解析Word版

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1、www.ks5u.com2015年清华大学自主招生试题数学一、选择题1.设复数z=cos+isin，则=（    ）(A)0(B)1(C)(D)2.设数列为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p+q>k+l”是“”的()条件(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要3.设A、B是抛物线y=上两点，O是坐标原点，若OA⊥OB,则()(A)

2、OA

3、·

4、OB

5、≥2(B)

6、OA

7、+

8、OB

9、≥2(C)直线AB过抛物线y=的焦点(D)O到直线AB的距离小于等于14.设函数的定义域为(-1,1)，且满足：①>0,x∈(-1,0)；②+=，x、

10、y∈(-1,1)，则为(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则F(x)=f(x)−kx有（    ）(A)2个极大值点(B)3个极大值点(C)2个极小值点(D)3个极小值点6.△ABC的三边分别为、b、c．若c=2，∠C=，且sinC+sin(B−A)−2sin2A=0,则有（  ）(A)b=2(B)△ABC的周长为2+2(C)△ABC的面积为(D)△ABC的外接圆半径为7.设函数，则（    ）-10-(A)有极小值，但无最小值(B)有极大值，但无最大值(C)若方程=b恰有一个实

11、根，则b>(D)若方程=b恰有三个不同实根，则0

12、米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（   ）(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁12.长方体ABCD−中，AB=2，AD=A=1，则A到平面BD的距离为（  ）(A)(B)(C)(D)13.设不等式组所表示的区域为D，其面积为S，则（    ）(A)若S=4，则k的值唯一(B)若S=，则k的值有2个(C)若D为三角形，则0

13、边形，则k>414.△ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则=（    ）(A)0(B)−15(C)−(D)−15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A−B)=0.2，则（    ）(A)P(A)=0.4(B)P(B−A)=0.3(C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.916.过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的（    ）-10-(A)最小值为(B)最小值为(C)最大值为(D最大值为17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（    ）(A)105种(B)225种(C)3

14、15种(D)420种18.已知存在实数r，使得圆周上恰好有n个整点，则n可以等于（    ）(A)4(B)6(C)8(D)1219.设复数z满足2

15、z

16、≤

17、z−1

18、，则（    ）(A)

19、z

20、的最大值为1(B)

21、z

22、的最小值为(C)z的虚部的最大值为(D)z的实部的最大值为20.设m,n是大于零的实数，=(mcosα,msinα)，=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量=(,),=(,)，记θ=α−β，则（    ）(A)·=(B)=(C)(D)21.设数列{}满足：=6，，则（    ）(A)∀n∈N∗,

23、<(B)∀n∈N∗,≠2015(C)∃n∈N∗,为完全平方数(D)∃n∈N∗,为完全立方数22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（    ）（A）ρ=（B）ρ=（C）ρ=（D）ρ=23.设函数，则（    ）（A）≤(B)

24、

25、≤5

26、x

27、(C)曲线y=存在对称轴(D)曲线y=存在对称中心24.△ABC的三边分别为,b,c，若△ABC为锐角三角形，则（    ）(A)sinA>cosB(B)tanA>cotB(C)(D)25.设函数的定义域是(−1,1)，若==1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ）(A)>0，x∈(−δ,δ)(B)在(−δ,δ

28、)上单调递增(C)>1，x∈(0,δ)(D)>1，x∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A