分类讨论中构建缜密思维

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1、分类讨论中构建缜密思维分类讨论是一种逻辑方法，更是一种数学思想，当我们面临的数学问题不能以一种形式解决时，可以把已知条件的范围划分为若干个子集，在各个子集内分别讨论问题的解，然后通过各类解而得到原问题的解答，这就是分类讨论思想.分类讨论思想中的关键词就是不相容性和缜密思维.历年高考中，分类讨论思想的地位十分重要，年年考，既是难点又是热点，几乎覆盖所有内容.下面选取不相容性和缜密思维两个角度举几个函数系列的例子加以剖析，与同学们分享.1.不相容性.分类讨论思想最初出现在绝对值的定义中，也是分段函数的简单形式.因此由概念、性质、定理、公式引起的分类讨论是很常见的.此外，根据参数的不同取值

2、引起的分类讨论以及由图形、参数的实际意义引起的分类讨论也是我们重点关注的情况.根据已知条件的范围划分为若干个子集，各个子集之间是不相容的这也是考生容易出错的地方.例1.已知函数『=f(x)的图像是折线段ABC,其中A(O,O)、E(,5)、C(1,O)，函数y=xf(x)(OWxWl)的图像与x轴围成的图形的面积为.【解析】答案—当0WxW,线段AE的方程为丫=10X，当VxW1时，线段BC方程为=,整理得y=—10x+10,即函数y=f(x)=10x,0WxW-10x+10,VxWl所以y=xf(x)=10x2,OWxW—10x2+10x,VxW1函数与x轴围成的图形面积为：10x

3、2dx+=(—10x2+1Ox)dx=x3[0][]+(—x3+5x2)[1][]=・【点评】本题以分段函数为背景，考查函数图像、性质、定积分等知识体现分类讨论思想和数形结合思想，关键点是把0WxW1分为0WxW和VxW1两个交集为空集的子集，体现了不相容性，定积分运算若分类的各子集间有交叉，很可能改变试题的结果.例2・某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件).已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成

4、正比，比例系数为k(k为正整数).⑴设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间；⑵假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【解析】⑴设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x),T2(x),T3(X),由题设有：T1(x)==,T2(x)=,T3(x)=,其中x,kx,200—(1+k)x均为1到200之间的正整数.⑵完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(X),T:2(x),T3(X)},其定义域为{X10

5、减函数T3(X)为增函数.注意到T2(x:)=T1(x),于是1)当k=2时，T1(x)=T2(x),此时，f(X)—maX{T1(x),T3(x)}-maX{,}・由函数T1(x),T3(x)的单调性知，当=时f(x)取得最小值，解得x=・由于44VV45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)2时，T1(x)>T2(x),由于k为正整数，故k23,此时，T(x)=,©(x)=max{T1(x),T(x)}易知T(x)为增函数，则f(x)=max{T1(x),T3(

6、x)}^max{T1(x),T(x)}=©(x)=max{,}.由函数T1(x),T(x)的单调性知，当=时©(x)取得最小值，解得x=・由于36<<37,而©(36)=T1(36)=>,(1)(37)=T(37)=>,此时完成订单任务的最短时间大于.3)当k<2时，T1(x)

7、,88,68.【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现了分类讨论思想，第(2)小题根据k的不同取值分类讨论深刻体现了三个子集间的不相容性.1.缜密思维.分类讨论思想的难点在于缜密思维，为什么考生做了很多分类讨论的试题还是讨论不清楚呢？最关键的一点事思维不够缜密.审题就是审清条件和结论，使它们之间的关系在头脑中形成一个完整的印象，这