资源描述：
《专题223+向量数乘运算及其几何意义（讲）-2017-2018学年高一数学同步精品课堂（提升版）（人教》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、必修四第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义【学习目标】1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，常握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，学握实数与向量的积的运算律.2.理解两个向暈共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.3.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用.重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教学难点:对向量共线的等价
2、条件的理解运用.【学习过程】一、导入新课思路1•前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中，a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3“吗？怎样用图形表示？由此展开新课.二.新知探究与解题研究提出问题①己知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).②你
3、能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗？③引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之I'可的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其儿何意义.教师要引导学生特别注意0・a二0,而不是0・沪0.这个零向暈是一个特殊的向量，它似乎很不起眼,但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运
4、算，比如入+a,入-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(入+11)a二入a+g和入(a+b)=Xa+Xb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同.判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明儿何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.对问题①,学生通过作图1可发现，OC=OA^AB^BC=a^a.类似数的乘法，可把a+a+a记作3a,即OC=3a.显然
5、3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍，即
6、3a
7、=3
8、a
9、.同样，由图1可知,OABC.-a二目_.任ymq＞图i顾二陀+莎+顾=(-a)+(-a)+(-a),即(-a)+(-a)+(-a)二3(-a)・显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍，这样,3(-a)=-3a.对问题②，上述过程推广后即为实数与向量的积.我们规定实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作ha,它的长度与方向规定如下：⑴丨"
10、=
11、X
12、
13、a
14、;⑵当入＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入＜0
15、时，入a的方向与a的方向相反.由⑴可知,入二0时，Xa=0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.实数与向量的积的运算律设入、"为实数，那么⑴入(口a)=(Xu)a;(2)(入+u)a二入a+ua;(3)入(a+b)=Xa+Xb.特别地，我们有(-入)a=-(Xa)=X(-a),X(a-b)=Xa-Xb.对问题③，向塑共线的等价条件是:如果a(a^0)与b共线，那么有且只有一个实数入，使b二入a.推证过程教师可引导学生自己完成，推证过程如下:对于向量a(aHO)、b,如果有一个实数入，使b二入a,那么由向量数
16、乘的定义，知a与b共线.反过來，己知向量a与b共线,aHO,且向量b的长度是向量a的长度的u倍,即
17、b
18、=u
19、a
20、,那么当a与b同方向时，有b二ua;当a与b反方向时，有b二-ua.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉aHO这一条件，上述条件成立吗?其目的是通过0与任意向量的平行來加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下儿种情况：(1)有一个为零向量；(2)
21、两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等.讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由丨XI•
22、a
23、确定.②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.③向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行
