2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）全国丙卷（3卷）

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1、2016全国（Ⅲ）理一、选择题（共12小题；共60分）1.设集合S=xx−2x−3≥0，T=xx>0，则S∩T=  A.2,3B.−∞,2∪3,+∞C.3,+∞D.0,2∪3,+∞2.若z=1+2i，则4izz−1=  A.1B.−1C.iD.−i3.已知向量BA=12,32，BC=32,12，则∠ABC=  A.30∘B.45∘C.60∘D.120∘4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15∘C，B点表示四月的平均最低气温约为5∘C．下面叙述不正确的是  A.各月的平均最低气温都在0∘C以

2、上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均气温高于20∘C的月份有5个5.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=  A.6425B.4825C.1D.16256.已知a=243，b=434，c=2513，则  A.b

3、长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为  A.18+365B.54+185C.90D.8110.在封闭的直三棱柱ABC−A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是  A.4πB.9π2C.6πD.32π311.已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为  第12页（共12页）A.13B.12C.23D.3412.定义“规范01数列”

4、an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，⋯，ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有  A.18个B.16个C.14个D.12个二、填空题（共4小题；共20分）13.若x，y满足约束条件x−y+1≥0,x−2y≤0,x+2y−2≤0,则z=x+y的最大值为 ．14.函数y=sinx−3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到．15.已知fx为偶函数，当x<0时，fx=ln−x+3x，则曲线y=fx在1,−3处的切线方程是 ．16.已知直线l:mx+y+3m−3=0与圆x2

5、+y2=12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB=23，则∣CD∣= ．三、解答题（共8小题；共104分）17.已知数列an的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0；（1）证明an是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=3132，求λ．18.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．参考公式：相关系数r=ti−ti=1nyi−yti−t2i=1nyi−y2i=1n，回归方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=ti−ti=1nyi−yti−t2i=1n，a=y−bt．（1）由折线图看出，可用线性回归

6、模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．第12页（共12页）（1）证明MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（2）若△PQF的面积是△A

7、BF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21.设函数fx=acos2x+a−1cosx+1，其中a>0，∣fx∣的最大值为A．（1）求fʹx；（2）求A；（3）证明∣fʹx∣≤2A．22.如图，⊙O中AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD．23.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα,（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极