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1、崇文区2008-2009学年度第二学期高三统一练习（二）数学(理)2009.5一、解答题（共2小题；共26分）1.已知直线l:y=kx+k+1，抛物线C:y2=4x，和定点M1,1．（1）当直线经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上；（2）当k变化k≠0且直线l与抛物线C有公共点时，设点Pa,1关于直线l的对称点为Qx0,y0，求x0关于k的函数关系式x0=fk；当P与M重合时，求x0的取值范围．2.设M是由满足下列条件的函数fx构成的集合："①方程fx−x=0有实数根；②函数fx的导数fʹx满足02、是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）集合M中的元素fx具有下面的性质：若fx的定义域为D，则对于任意m,n⊆D，都存在x0∈m,n，使得等式fn−fm=n−mfʹx0成立"，试用这一性质证明：方程fx−x=0只有一个实数根；（3）设x1是方程fx−x=0的实数根，求证：对于fx定义域中任意的x2,x3，当x2−x1<1，且x3−x1<1时，fx3−fx2<2．二、选择题（共8小题；共40分）3.由实数a，−a，a所组成的集合里，所含元素个数最多有______A.0个B.1个C.2个D.3个4.设条件p:a>0；条件q:a2+a≥0，那么p是q的什么条件______A.充分非必要条件B.必3、要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件5.若ftanx=cos2x，则f−tanπ3的值是______A.12B.−32C.−12D.326.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为______A.43B.53C.54D.327.若函数fx=2xx≤1,log12xx>1,则y=fx的图象可以是______A.B.第7页（共7页）C.D.8.已知函数fx=4x2−72−x，x∈0,1，则fx的单调递增区间为______A.0,1B.−2,1C.0,12D.12,19.如图，正三棱锥S−ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的4、二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS⋅sinα，则动点P的轨迹为______A.线段B.圆C.一段圆弧D.一段抛物线10.已知fx是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a,b∈R满足：fa⋅b=afb+bfa,f2=2,an=f2nnn∈N*,bn=f2n2nn∈N*，考察下列结论：①f0=f1；②数列an为等比数列；③数列bn为等差数列．其中正确的结论是______A.①②③B.①③C.①②D.②③三、填空题（共6小题；共30分）11.等比数列an中，已知a1+a2=4，a1+a2+a3+a4=5，则公比q=______．12.已知双曲线的中心在5、原点O，焦点在x轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距离的2倍，则该双曲线的方程为______．13.设常数a>0，ax2+1x4展开式中x3的系数为32，则a=______；limn→∞a+a2+⋯+an=______．14.正四棱锥S−ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为______．第7页（共7页）15.已知实数x、y满足约束条件x−ay−1≥0,2x+y≥0,x≤1,目标函数z=x+3y只有当x=1,y=0时取得最大值，则实数a的取值范围是______．16.定义＂和常数列＂：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同6、一个常数，那么这个数列叫做和常数列，这个常数叫做该数列的和常．已知数列an是和常数列，且a1=2，和常为5，那么a18的值为______，若n为偶数，则这个数列的前n项和Sn的计算公式为______．四、解答题（共4小题；共52分）17.函数f1x=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,φ<π2,B∈R在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数f1x的解析式；（2）将函数y=f1x的图象按向量a=π4,−2进行平移，得到函数y=f2x的图象，求y=f1x+f2x的最大值，并求此时自变量x的取值集合．18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠A1C1B1=90∘，A1C1=7、1，AA1=2，N，M分别是线段B1B，AC1的中点．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）求A1到平面AB1C1的距离；（3）求二面角A1−AB1−C1的大小．第7页（共7页）19.某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3．从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯
2、是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）集合M中的元素fx具有下面的性质：若fx的定义域为D，则对于任意m,n⊆D，都存在x0∈m,n，使得等式fn−fm=n−mfʹx0成立"，试用这一性质证明：方程fx−x=0只有一个实数根；（3）设x1是方程fx−x=0的实数根，求证：对于fx定义域中任意的x2,x3，当x2−x1<1，且x3−x1<1时，fx3−fx2<2．二、选择题（共8小题；共40分）3.由实数a，−a，a所组成的集合里，所含元素个数最多有______A.0个B.1个C.2个D.3个4.设条件p:a>0；条件q:a2+a≥0，那么p是q的什么条件______A.充分非必要条件B.必
3、要非充分条件C.充分且必要条件D.非充分非必要条件5.若ftanx=cos2x，则f−tanπ3的值是______A.12B.−32C.−12D.326.已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为______A.43B.53C.54D.327.若函数fx=2xx≤1,log12xx>1,则y=fx的图象可以是______A.B.第7页（共7页）C.D.8.已知函数fx=4x2−72−x，x∈0,1，则fx的单调递增区间为______A.0,1B.−2,1C.0,12D.12,19.如图，正三棱锥S−ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的
4、二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS⋅sinα，则动点P的轨迹为______A.线段B.圆C.一段圆弧D.一段抛物线10.已知fx是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a,b∈R满足：fa⋅b=afb+bfa,f2=2,an=f2nnn∈N*,bn=f2n2nn∈N*，考察下列结论：①f0=f1；②数列an为等比数列；③数列bn为等差数列．其中正确的结论是______A.①②③B.①③C.①②D.②③三、填空题（共6小题；共30分）11.等比数列an中，已知a1+a2=4，a1+a2+a3+a4=5，则公比q=______．12.已知双曲线的中心在
5、原点O，焦点在x轴上，它的虚轴长为2，且焦距是两准线间距离的2倍，则该双曲线的方程为______．13.设常数a>0，ax2+1x4展开式中x3的系数为32，则a=______；limn→∞a+a2+⋯+an=______．14.正四棱锥S−ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为______．第7页（共7页）15.已知实数x、y满足约束条件x−ay−1≥0,2x+y≥0,x≤1,目标函数z=x+3y只有当x=1,y=0时取得最大值，则实数a的取值范围是______．16.定义＂和常数列＂：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同
6、一个常数，那么这个数列叫做和常数列，这个常数叫做该数列的和常．已知数列an是和常数列，且a1=2，和常为5，那么a18的值为______，若n为偶数，则这个数列的前n项和Sn的计算公式为______．四、解答题（共4小题；共52分）17.函数f1x=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,φ<π2,B∈R在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数f1x的解析式；（2）将函数y=f1x的图象按向量a=π4,−2进行平移，得到函数y=f2x的图象，求y=f1x+f2x的最大值，并求此时自变量x的取值集合．18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠A1C1B1=90∘，A1C1=
7、1，AA1=2，N，M分别是线段B1B，AC1的中点．（1）证明：MN∥平面ABC；（2）求A1到平面AB1C1的距离；（3）求二面角A1−AB1−C1的大小．第7页（共7页）19.某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3．从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯
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