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《高三数学（理科）一轮复习§8.8 立体几何中的向量问题（ⅱ）——空间角与距离（教案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、响水二中高三数学（理）一轮复习教案第八编立体几何主备人张灵芝总第42期§8.8立体几何中的向量问题（Ⅱ）——空间角与距离基础自测1.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为.答案45°或135°2.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，则该二面角的大小为.答案60°3.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于.答案4.如图所示，在空间
2、直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为.答案5.（2008·福建理，6）如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案例题精讲例1（2008·海南理，18）如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°.(1)求DP与CC′所成角的大小;(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.解如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.则=（1，0，0），=(0,0,1).连接BD,B′D′.在平面
3、BB′D′D中,延长DP交B′D′于H.设=(m,m,1)(m＞0),由已知〈,〉=60°,由·=
4、
5、
6、
7、cos〈,〉,可得2m=.解得m=,所以=（,,1）.(1)因为cos〈,〉==,所以〈,〉=45°,271即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).因为cos〈,〉==,所以〈,〉=60°,可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.例1在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.求点B到平面CMN的距离.解取AC的中点O，连接OS、OB.∵SA=S
8、C，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）.∴=（3，，0），=（-1，0，），=（-1，，0）.设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，则，取z=1，则x=,y=-,∴n=（，-，1）.∴点B到平面CMN的距离d=.例3如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）点E为B
9、C的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.（1）解当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，∴EF∥平面PAC.（2）证明以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），D（，0，0）.271设BE=x，则E（x，1，0），·=（x，1，-1）·（0，，）=0，∴PE⊥AF.（3）解设平面PDE的法向量为m=(p,q,
10、1),由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）由，得m=.而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,∴sin45°==，∴=,得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°巩固练习1.如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8.BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE∥AD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直线BD与EF所成的角的余弦值.解（1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，∴AD⊥AB，AD⊥AF，故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知，ABFC是正方形，∴∠BAF
11、=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），E（0，0，8），F（0，3，0），∴=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.cos〈,〉===-.设异面直线BD与EF所成角为，则cos=
12、cos〈,〉
13、=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.2.已知：正四棱柱ABCD—A1B1C1D
