一类奇异椭圆方程解的存在性

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1、西南大学硕士学位论文中文摘要一类奇异椭圆方程解的存在性牛学科专业：应用数学指导教师：吴行平教授研究方向：非线性分析研究生：廖家锋(s20050966)摘要本文首先考虑奇异半线性椭圆问题一△u=u一7+9@，u)，t正>O．z∈Q．z∈Q。Lu=o，z∈as2，其中，QcRⅣ(Ⅳ23)是具有光滑边界aQ的有界区域，，y>o是一个正常数，g：Q×R_R是一个c07．nt膨DdDr3，函数，即：对任意的s∈R，g(z，s)关于z是可测的；对几乎所有的z∈Q，夕(z，s)关于s是连续的．我们的具体做法是利用变分方法和极小作用原理．主要结果如下：定理l假设函数夕(z，s)满足如下条件；(m)存

2、在两个函数o∈L袅(Q)和6∈厶鸶(Q)满足I夕(z，占)f≤口(z)+6(z)I占I，对一切的s∈R和几乎所有的z∈Q成立，渤)存在一个正常数m，使得1im旦!竺!型：仇．5’’++ooS对几乎所有的z∈Q成立．如果m

3、一+。o，G0，s)

4、一去入ls2叫一oo，对几乎所有的z∈E成立，(既)G(名，s)一去Als2sh(z)，对一切的s∈月和几乎所有的z∈Q都成立，其中G(z，s)=片9(为t)如，则定理l的结论也成立．接下来本文讨论如下奇异椭圆方程l一△牡+后◇)珏一7=A护，z∈Q，l{u>o，霉∈Q，(2)l【u=o，z∈aQ，这里，QcRⅣ(Ⅳ≥1)是一个有界区域并且具有c2佃边界aQ，7、A和p是三个非负常数，七是定义在Q上的非负函数，其中o

5、(o，。o)，使得当入>灭时，问题(2)至少有。个解uA∈c2十。(Q)nc(孬)且uil∈L1(Q)，此时问题(2)有一个极大解叭且坝关于A是递增的；当A<天时，问题(2)在c2(Q)nc(固中没有解．定理4设函数七∈c&(Q)nc(砭)并且在孬中七(z)>o．如果7≥l，那么对于、‘切的A>o和p>o，问题(2)在c2(Q)nG(囝中没有解存在．最后，本文利用上下解原理考虑了比问题(2)更一般的椭圆问题一△“+七(z)，(牡)=A扩，珏>0．u=O．z∈Q．z∈aQ．其中，Qc冗Ⅳ(Ⅳ≥1)是有界区域并且具有c2+Q边界aQ，A和p是两个非负常数，七是定义在Q上的非负函数，，是定

6、义在(o，+。。)上的非负的、非增的函数．II西南大学硕士学位论文中文摘要主要结果如下·定理5设函数七∈％(Q)nG(国并且老(。)≥o且是≠o，o<尹<1．假设函数，∈％(o，Oo)且满足(^)／，(s)ds<+o。，(厶)Z1(办s，司一出<帆则存在一个常数天∈(o，Oo)，使得当A>天时，问题(3)至少有一一个解uA∈c2+口(Q)nc(孬)且，(仳A)∈五1(Q)，此时问题(3)有·个极大解坝且坝关于入是递增的；当A<天时，问题(3)在c2(Q)nc(孬)中没有解．定理6设函数七∈c‰(Q)nc(砭)并且在孬中惫($)≥o．假设函数，∈c‰(o，o。)且满足’(厶)／，(s)

7、如=+∞，’，0则对一切的A>o和p>o，问题(3)在c2(Q)nG(孬)中没有解存在．关键词：奇异椭圆方程；极小作用原理；临界点；变分方法；上下解原理．III西南大学硕士学位论文英文摘要ExistenceofSolutionsf．oraclassofSingularEllipticEquations1MajorIAppliedMathematicsSpeciality：NolinearAnaIysisSuperVisor：Prof．WuXing-pingAuthor：LiaoJia—feng(S20050966)Abstracththispaper，fir8tly’wecon8id

8、erthefoll鲫ingsingul甜semninearellipticproblem{三三三_“一7+g(z’钍)'inQ，inQ，in踟，(1)whereQc兄Ⅳ(Ⅳ≥3)isaboundeddomainwithsmoothbound竹yaQ，，yisaposniveconstant，夕：Q×忍_R主saCarath60dovfunction，thatis，夕(z，s)ismeasurableinzforeve巧s∈Randcont．muousins