一类分数阶椭圆型方程解的存在性-论文.pdf

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1、第52卷第4期吉林大学学报(理学版)VoI．52No．420l4年7月研究简报doi：10．13413／j．cnki．jdxblxb．2014．04．19一类分数阶椭圆型方程解的存在性关丽红，常晶，赵昕。(1．长春大学理学院，长春130022；2．空军航空大学基础部，长春130022；3．吉林农业大学信息技术学院，长春130118)摘要：考虑分数阶椭圆型方程(一△)“一(，“)在Dirichlet边界条件下非平凡解的存在性，应用推广形式的山路定理得到了当非线性项满足渐近线性增长时，该椭圆型方程非平凡解的存在性．关键词：分数阶Laplace

2、方程；Dirichlet边值条件；山路定理。中图分类号：O175．25文献标志码：A文章编号：1671—5489{2014}04—0737—03ExistenceofSolutionsforSomeEllipticEquationswithFractionalGUANLihong，CHANGJing。。ZHAOXin。(1．Collegeo／Science，Chang(hunUniversity，Chang(“130022，Chi“：2·DepartmntofFoundati0”，Aviati0Universityul，AirF()tee

3、，Cha”gfh”130022，(71“；3·Collego／l@~rmati。nTechnulogy，Jill”Agri(’ulluralUnizJersit，Ch“髻ch“130118，Chi“)Abstract：ThispaperdeaIswiththeexistenceofsolutionsforsomefractionalellipticequation(一△)“_。_厂(，“)underDirichletboundarycondition．Whenthea5，ymptoticgrowingofthenonlinearity-，

4、’atzeroandinfinitywasmaintained，anewexistenceresultwasobtainedbymeansofusedthemountainpasstheorem．Keywords：fractionalI．aplaceequation；Dirichletboundarycondition；mountainPasstheorem考虑如F分数阶椭圆型方程Dirichlet边值问题：f(一△)M一／(，，“)，∈，1“一0，∈刁力，()其中：力(二二脓(～≥2)是带有光滑边界r7力的有界区域；(-A)表示分数阶L

5、aplace算子，∈(0，1)；／。∈((×IR，嗵)．目前，关于分数阶椭圆型方程解的存在性与多重性研究已有许多结果．分数阶Laplace算子(～△)是I∈vy稳态扩散过程的无穷小生成元，在美式期权、人El动力学和黏弹性力学等领域应用广泛。。．本文研究分数阶椭圆型方程Dirichlet边值问题(1)非平凡解的存在性，应用推广形式的山路定理，在非线性项满足渐近线性增长的情形下得到了问题(1)非平凡解的存在性．令H()一{“一∑“一(∑“)<。。}，其中{}为(一△，H())^一(jk一()对应于特征值的特征向量，满足IIIIz一1．令H()

6、为H(Q)的对偶空问，则分数阶Laplace算子(一△)可定义为(△)“一∑“∈H(n)，V“一∑“59∈H(力)．令女一i．0k：0收稿日期：20131o28．作者简介：关丽红(1976)，女，满族，讲师，从事微分方程的研究，E-mail：z{d_cc@i．COHI．基金项目：r车林省内然科学基金(批准号：2013O522O951H；201215184)和吉林省教育厅“l~-_al”规划科技项目(批准号：吉教科合字[2o12]第462号)．738吉林大学学报(理学版)第52卷{(，))称为分数阶Laplace算子(-zX)在Dirich

7、let边界条件下的特征函数和特征值．在H()中定义内积为(“，)H(n)一I(一△)u(-△)vdxdy，则H(n)是一个Hilbert空间．定义1如果I(一zX)u(-zX)cdx—If(x，“)cd．r对每个∈H(n)都成立，则称“∈H(n)是问题(1)的弱解．记H(x，f)一f(，f)一2F(x，￡)，其中F(x，f)一I厂(，r)dr．假设下列条件成立：(H。)存在正常数C，C。，使得l’(，)l≤c+c。ltI，a．e．∈；(H。)lim型一O关于∈一致成立；(Hl{)存-，+使≤lim≤z关于∈一致⋯成立(H)limH(x，)

8、===+co关于∈一致成立．本文主要结果如下：定理l假设∈C(×)，并且满足(H)～(H)，则问题(1)至少存在一个非平凡弱解M∈H(n)．注1文献[3，5]分别研究了分数阶SchrOding