数学竞赛中的概率问题

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1、智浪教育---普惠英才文库52数学通讯——2Ol1年第4期(上半月)·课外园地·数学竞赛中的概率问题徐胜林(华中师范大学数学竞赛与数学普及研究所，430079)概率研究的是确定性现象和随机现象，概率放人一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相的计算既要用到排列、组合的知识来解答，也要用同．甲从袋中摸出一个球，其号码为口，放回后，乙到排列、组合的解题思路．概率统计的内容进入高从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式口中数学以后，使教学内容增添了更多的变量数学，一26+1O>0成立的事件发生的概率是多少?也为数学竞赛增添了新的考点

2、和应用的领域，主分析首先考虑基本事件的总个数，然后计要考查概率和数学期望的计算．算使不等式口一26+10>0成立的事件数，可用列求解概率问题时，应善于运用以下结论来举法求解．处理．解甲、乙二人各摸一个小球，各有9种不同(1)古典概型：如果基本事件只有种，并且的结果，故基本事件的总数为9×9===81种．各种基本事件出现的可能性相同，而事件A由其由不等式口一26>10，得26<口+10．中m种基本事件组成，则事件A的概率为P(A)=当b一1，2，3，4，5时，口可取1，2，3，⋯，9中的每一个值，都能使不等式成立，则共有9×5=‘4

3、5(种)；(2)几何概型：在几何区域D中，随机地取一当b一6时，口可取3，4，5，6，7，8，9，有7种；点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事当b一7，8，9时，对应的口的取值分别有5，3，件A，则事件A发生的概率为P(A)一．1种．这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义由D于是所求概率P==={=基．确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，例2(2010年江西省预赛试题)将1，2，⋯，9相应的“测度”分别是长度、面积和体积．随机填人图1中正方形ABCD的九个格子中，每(3)设A，B是两个事件，且P(B)>0，在事

4、件格填一数，则其每列三数自上而下、每行三数自左B发生的前提下事件A发生的条件概率为P(Al至右顺次成等差数列的概率P一．DB)一．(4)设事件A的概率为P(A)，则对立事件的概率为P()=1一P(A、(5)若事件A，A，⋯，A两两互斥，则P(AUAzU⋯UA)=P(A)+P(Az)+⋯C+P(A)．(6)设A，B是两个事件，则：、-图1例2图分析解题的关键是求出符合条件的填法①P(A—B)=P(A)一P(AB)，其中A—B表数，故需根据条件分析出填数的规律．示A发生且B不发生；解1，2，⋯，9随机填人图中正方形ABCD②P(AUB

5、)一P(A)+P(B)～P(AB)．的九个格子中，共有91种填法．例1将号码分别为1，2，3，⋯，9的九个小球·课外园地·数学通讯——2O11年第4期(上半月)53设三行填数的和依次为Sl，S2，S。，则S1，S2，解法1依题意知，的所有可能值为2，4，6．S。也成等差数列，而它们的和S+Sz+S。=l+设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停2+⋯+9—45，所以3S2—45，故S2—15．止的概率为(号)。+(告)=吾．设第二行的三个数顺次为口，b，c，由于口，b，c若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮成等差数列，口+b-+

6、-f一15，所以3b一15，于是b一中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛5，口+c=10，{口，f)的取值只有(1，9)，{2，8)，(3，是否停止没有影响．从而有7)，{4，6)四种情况．但口，c作为所在列的等差中项，不能取1和9；P(一2)一昔，根据对称性，1和9也不能在中间列，故只能在正方形的角块上，且既不同行也不同列(否则中项为p($-4)=吾·吾一器，5)，即1和9只能在正方形的对角块上．P($--6)一(吾)=，同理，{3，7)也不能被(口，c)取到，故3和7必在正方形的另一对角块上．故艮=2×百5十4豇20+

7、6×豇16=．解法2依题意知，的所有可能值为2，4，6．令A表示甲在第愚局比赛中获胜，则表示乙在第惫局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得CP(车一2)一P(AA2)+P(Xz)=丢，图2P(一4)一P(A1A2A3A4)+P(A1A23A4)因此，填法只有图2的模式，它的各种情况，可+P(A～1A2A3A)+P(1A23)一2[(要)。·看成将表格固定，然后将字母A放置于四角之一，再使ABCD成顺时针或逆时针方向，共得8种(丢)+(÷)。·(号)]=器，情况．P(导一6)一P(A1A34)+P(AlA一2A一3A4)所以P一8．+

8、P(A一1A2A3A一4)+P(1A23A)=4·()。·例3(2008年全国联赛试题)甲乙两人进行c一，乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．故鹾一2×吾+4×西2O+6x8lAl一．设甲在每局