离散时间信号与系统的频域分析

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1、第二章离散时间信号与系统的频域分析1.1序列的Z变换利用差分方程可求离散时间系统的结构和瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究系统的Z变换，并且通过Z变换可把解差分方程的工作转化为解代数方程的工作。z变换是一种复频域分析方法，其在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样。一、z变换的定义1.Z变换的基本定义序列x(n)的Z变换定义为：X⑵二ZT[x(n)]=双边Z变换X(z)=ZT[x(n)]=£x(n)z—"单边Z变换/!=()式中，Z是一个连续复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵

2、坐标构成的平面称为Z平面。显然，仅当x(n)=0“<0,双边和单边Z变换才是相等的。本书中都用双边Z变换。2.从理想采样信号的拉氏变换导出Z变换Z变换的定义式也可以从连续时间采样信号的拉氏变换导出。如果对连续时间信号乙⑴以间隔T进行均匀采样，则采样信号T(f)为:oo兀〈)=YjXa(nT)6(t-nT)对该式取拉氏变换可得：8xa(nT)3(t-nT)e~s,clt"=-oooo=工兀“(M)J6{t-nT)e~stdtW=-oo=£兀山"曲〃=一8令e"=zf$=*ln(z),并设兀(n)=兀“(mT)，贝lj:X()

3、亠⑵血)zJ

4、X⑵T，戶Y由此看出，当"产时，采样序列班“)的Z变换就等于其理想采样信号的拉氏变换。1.S平面与Z平面的映射关系在上面的推导过程中设定了z=严$=*ln⑵，这一设定是在变换域将连续时间信号和离散序列联系了起来，即在S平面和Z平面之间建立了一种映射关系。如果将变量S以直角坐标表示，将变量Z以极坐标表示，即:s=<7+JQ,z-rejco将它们都代入z=e“，得：“加二JEW=戶严因此，有：r=严，a)=QT也就是说，Z的模r只与S的实部"相对应'而z的相角⑵只与S的虚部Q相对应。下面讨论几种主要情况:(1)<7为常数(7=0(S平面虚轴

5、)对应于C—0/AS平而左半平面内平行于虚轴的直线对应于Z平面单位圆内的圆周(T(7•:・S右半平面内平行于虚轴的直线对应于Z平面单位圆外的圆周CF>0卩孕(2)S左半平面对应于Z平面单位圆内部（3）S右半平面对应于Z平面单位圆外部（4）Q为常数❖q=o（S平面实轴）对应于G=o（Z平面正实轴）❖Q=Q0（S平面平行于实轴的直线）对应于c=（Z平面始于原点辐角为的射线）（5）Q由-龙仃增长到兀/八对应于e由-兀增长到小即S平面为勿仃的一个水平条带相当于Z平面辐角转了一周，也就是覆盖了整个Z平面。由于Z平面上的辐角以加为周期，因此，Q与Q

6、之间存在着一种多值映射关系。我们知道，变量Q是连续时间信号的频率，变量e是离散时间信号的频率，因此，从Q到e的多值映射意味着离散时间信号的频率特性将具有以2龙为周期的周期性。二、Z变换的收敛域显然，只有当式中的幕级数收敛时，Z变换才有意义（存在）。按照级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和，即：

7、z

8、值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示，即：其示意图如下:收敛域是分别以件和九为半径的两个圆形成的环状域（斜线部分）。〜和氐称为收敛半径，氐可小到0,心可大到无穷。常见的z变换

9、是一个有理函数，即为两个多项式之比：x(z)=P(z)Q(Z)分子多项式P⑵的根称为X（z）的零点，分母多项式Q⑵的根称为X（z）的极点。Z变换的收敛域和极点分布关系密切，在极点处Z变换不收敛（不存在），因此在收敛域内不得包含任何极点，收敛域通常是以极点来限定边界的。收敛域和序列特性有着密切的关系，主要有以下几种情况:(1)有限长序列[x(ri)nx

10、有界，级数就收敛，即要求：x(n)z~H<00由于x(")有界，故要求：Z~"<00显然，当Ov

11、z

12、voo时，满足此条件，也就是说收敛域至少是除“0及Z=OQ外的有限Z平面。在®,勺的特殊选择下，收敛域还可进一步扩大:<0,力250时,05ZV8川Iv0,川2>0时，0vzv8>0,“2>0时，0n}x{n)=0.<®这类序列是指在心®时，序列有非零值，在水厲时，序列值皆为零，其z变换为:X(z)=^x(n)z~n=工兀⑺)z~"+^x(/?)z~nn=n{n=n}n=0此式右端第一项为有限长序列的Z

13、变换，当«,<-!时，收敛域为o<

14、z

15、