2、E。总存在某一实数N>c,使得当M>N时，对一切xelo都有
3、rf(x,y)dy-^(x)则称含参量反常积分（1）在/上一致收敛于0（X），或简单地说含参量积分（1）在/上一致收敛。定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常枳分（1）在/撒谎能够一致收敛的充要条件是：对任给正数£，总存在某一实数M>c,使得当ApA/M时，对一切都冇“W2(3)由定义1,我们还有以下含参量积分i致收敛的判别准则.定理19.8含参量积分^f（x,y）dy在/上一致收敛的充分且必要条件是limF(A)=0,其中F(A)=SUPxel/(x,y)dy在［A+oo］上一致收敛（其中》
4、>0）,但在（0,+oo）内不一致收敛。证作变量代换u=xy,得厂sin与〃_厂sinu血hyMvucjnu•其中4〉0.由于J（）——w收敛，故对任给正数◎总存在正数M,使当人>M时，就r+-sinwy.duM,则当A>—时，对一切x>J>0,由（5）式有o卄sinAy人~T~因此JimFW=O,从而由定理19.8,（4）式在［5,2）上一致收敛，又因为lim5sinwfr-^sinwfdu=du.AuuF（A）=supr-^sinxyfl4dy=supr+-sinw,Jdu>严sinufduAG（0,Q）J人yA€（0,+«>）」Ay
5、UJou兀2■（其中f^^HLdy=-将在本节例6中证明），所以由定理19.8,（4）式在（0,+oo）上不一Jou2致收敛。若对任意［c"］u/,含参量反常积分（1）在［⑦切上一致收敛，则称（1）在/上内闭一致收敛，以上论述证明了含参量反常积分（4）在（0,+oo）上内闭一致收敛。关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛Z间的联系有下述定理。定理19.9含参量反常积分（1）在/上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+oo的递增数列｛A”｝（其中4产C）,函数项级数（6）"=
6、在/撒谎能够一致收敛。证［必要性］由（1）在/上一致收敛，故对任给£>0,必存在
7、M>c,使当A>A>M.由（7）对一切xw/,总有uQ）+…+血（兀）卜/（兀y）dy+•••+『〕'fgy）dyAmAn=^f｛x,y)dyc,存在相应的人>A>M和兀w/,使得J?y)g£0-一般地,取M广max归,4(刊｝g2),则有A2>A2n-i>MAxn^^使得J,/(如)泌心£。・(8)由上述所得到的数列｛A”｝是递增数列，且lim人”=+oo.现在考察级数/，+，f(x,y)dyn==由(8)式知存在正数£o,
8、对任何正整数N,只要n>N,就有某个xfI,使得心(儿)卜fr(曲)川》£()•这与级数(6)在/上一致收敛的假设矛盾。故含参量反常枳分(1)在/上一致收敛。下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法。由于它们的证明与函数项级数相应的判别法相仿，故从略。魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g(y),使得
9、/(x,y)Sg(刃,(兀,y)w/刈c,+8)・若Jg(y)〃y收敛，则Jf(x,y)dy在/上_致收敛。狄利克雷判别法设(i)对一切实数N>c,含参量正常积分rN£f(x,y)dy对参量兀在/上一致有界，即存在正数M,对一切N>c及一切xwl,都有『/(x,y)d
10、y
