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1、Ch12反常积分与含参量非的积分计划课时：24时§1广义积分一.无穷限广义积分:1．概念和几何意义：定义，.几何意义:例1⑴讨论积分,,的敛散性.⑵计算积分.例2讨论以下积分的敛散性:⑴;⑵.例3讨论积分的敛散性.2.无穷积分的性质:⑴在区间上可积,—Const,则函数在区间263上可积,且.⑵和在区间上可积,在区间上可积,且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:(翻译)Th积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛:定义概念.绝对收敛收敛,(证)但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分.3.无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法:对非负函数
2、,有↗.非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法:设在区间上函数和非负且，又对任何>,和在区间上可积.则<,<；,.(证)例4判断积分的敛散性.比较原则的极限形式:设在区间上函数,.则ⅰ><<,与共敛散:263ⅱ>,<时,<；ⅲ>,时,.(证)⑵Cauchy判敛法:(以为比较对象,即取.以下>0)设对任何>,,且,<；若且,.Cauchy判敛法的极限形式:设是在任何有限区间上可积的正值函数.且.则ⅰ><；ⅱ>.(证)例5讨论以下无穷积分的敛散性:ⅰ>ⅱ>[1]P324E6Ex[1]P265—2661（1）（3）（5）2（3）
3、（5），5.⑶其他判敛法:Abel判敛法:若在区间上可积,单调有界,则积分收敛.263Dirichlet判敛法:设在区间上有界，在上单调，且当时，.则积分收敛.例6讨论无穷积分与的敛散性.例7证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛:,,.例8(乘积不可积的例)设,.由例6的结果,积分收敛.但积分却发散.(参阅例6)Ex[1]P2667.二.瑕积分:先介绍函数的瑕点.1.瑕积分的定义:以点为瑕点给出定义.然后就点为瑕点、点为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.例9判断积分的敛散性.例10讨论瑕积分的敛散性,并讨论积分的敛散性.2.瑕
4、积分与无穷积分的关系:设函数连续,为瑕点.有,把瑕积分化成了无穷积分;263设,有，把无穷积分化成了瑕积分.可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和结果.例11证明瑕积分当时收敛.证,由例6,该积分当时收敛.1.瑕积分判敛法:Th(比较原则).系1(Cauchy判别法)系2(Cauchy判别法的极限形式).例12判别下列瑕积分的敛散性:⑴(注意被积函数非正).⑵.例13讨论非正常积分的敛散性.三.C—R积分与R积分的差异:1.R,在上;但在区间上可积,在区间上有界.例如函数2.R,
5、
6、R,但反之不确.R积分是
7、绝对型积分.
8、
9、在区间上可积,在区间上可积,263但反之不确.C—R积分是非绝对型积分.3.,R,R;但和在区间上可积,在区间上可积.可见,在区间上可积,在区间上可积.Ex[1]P2751（2）（4）2（2）（4）.§2含参广义积分一.含参无穷积分:1.含参无穷积分:函数定义在上(可以是无穷区间).以为例介绍含参无穷积分表示的函数.2.含参无穷积分的一致收敛性:逐点收敛(或称点态收敛)的定义:,,使.引出一致收敛问题.定义(一致收敛性)设函数定义在上.若对263,使对成立,则称含参无穷积分在(关于)一致收敛.Th21.5(C
10、auchy收敛准则)积分在上一致收敛,对成立.例1证明含参量非正常积分在上一致收敛,其中.但在区间内非一致收敛.3.含参无穷积分与函数项级数的关系:Th21.6积分在上一致收敛,对任一数列,↗,函数项级数在上一致收敛.(证略)二.含参无穷积分一致收敛判别法:1.WeierstrassM判别法:设有函数,使在上有.若积分,则积分在一致收敛.例2证明含参无穷积分在内一致收敛.2.Dirichlet判别法和Abel判别法:三.含参无穷积分的解析性质:含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.2631.连续性:积分号下取
11、极限定理.Th21.7设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上连续.(化为级数进行证明或直接证明)系在Th21.7的条件下,对,有2.可微性:积分号下求导定理.Th21.8设函数和在上连续.若积分在上收敛,积分在一致收敛.则函数在上可微,且.3.可积性:积分换序定理.Th21.9设函数在上连续.若积分在上一致收敛,则函数在上可积,且有.关于在上的积分换序问题.例3计算积分四.含参瑕积分简介:Ex[1]P3052（3）910（3）.§3Euler积分263本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即和.它们统称为Eule
12、r积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数.一.Gamma函数——Euler第二型积分：1.Gamma函数:考虑无穷限含参积分,当时,点还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为来讨论其敛散性.:时为正常积分.时,.利用非负函数积的Cauchy判别法,注意到时积分收敛.(易见时,仍用
