含参数问题回避分类讨论的技巧(老师版)

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1、含参数问题回避分类讨论的技巧分类讨论思想是一种重要的数学思想，它对于培养学生思维的条理性和深刻性有着重要的作用，能体现“着重考察数学思维能力”的要求，备受命题者的青睐.但分类讨论问题覆盖的知识面广，具有较强的逻辑性、综合性、探究性的特点.但有些分类讨论问题，若能认真地挖掘问题内在的特殊性，灵活运用解题策略和方法，有时简化或避免分类讨论，使解题过程简捷且降低了问题的难度，提高了解题的效率，下面介绍几种回避分类讨论的技巧.一、挖掘隐含条件，回避分类讨论在含有参数的不等式中，参数的范围一般不直接给出而隐含与问题之中，解题时应仔细全面观察，挖掘题目中的隐含条件，回避繁琐的分类讨论，是问题

2、简单化.例1、已知二次函数，是否存在实数，使的定义域和值域分别是和？如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.分析：本题可根据二次函数的对称轴与区间的相对位置关系进行讨论，但若注意到，可得.所以.故二次函数在区间上单调递增，从而可以避免分类讨论.所以有，所以例2、在区间内恒有，则的单调递增区间是（）.A、B、C、D、分析：本题常规思维是分和两种情况讨论，但注意到函数在区间上的值域是，即而已知在区间内恒有，可知，所以函数的单调递增区间是二、分离参数变量，回避分类讨论在含有参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变量函数，下面

3、只需解决有关函数的至于问题，6/6回避繁琐的分类讨论，从而是问题简单化.例3、若不等式对于一切成立，则的最小值是（）.A、0B、C、D、分析：本题常规可根据二次函数的对称轴与区间的相对位置关系进行讨论，但本题可利用分离变量的方法，避免繁琐的分类讨论.因为不等式对于一切成立，所以，可知的最小值是函数在上的最大值.易知的最小值是.例4、已知定义在上的函数，当为何值时，函数在上有零点.分析：本题常规思维，函数在上有零点，即方程在有解.可得：在有解，可令，，则在有解，可利用一元二次方程根的分布知识分类讨论求解.但本题可利用分离变量的方法，使问题大大简化.因为函数在上有零点，即方程在有解.

4、所以求的范围可转化为求函数在上的值域问题，因为，，根据函数的单调性可知函数在上的值域为，所以，函数在上有零点.三、巧用图像，回避分类讨论对某些分类讨论问题，可利用题设条件具有的某种特殊数量关系或图形具备的某种特点，构造满足题设条件的特殊图形，进行数形结合，可起到简化讨论的作用.6/6例5、已知（）在区间上是增函数.求实数的取值范围.分析：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，下面可对和两种情况进行分类讨论，但本题可构造二次函数，根据函数图象如图：若对恒成立，则只要满足，即可.即解得.故实数的取值范围是.-aaa-a例6、已知且，试求式方程有解的实数的取值范围.分析：原

5、方程等价于，若就此展开讨论则情形多而且复杂，不妨用数形结合的思想构造曲线，，从而转化为直线与双曲线在上半平面内有交点，求实数的取值范围，如图易求得：或四、调换主元，回避分类讨论矛盾的双方既对立又统一，在一定的条件下是可以转化的，对于存在两个或两个以上变量的数学问题，若我们能打破思维定势，换一个角度，调换主元，转变方位，以“参数”反客为主，常常能回避讨论，可得到意想不到的效果，使问题能更迅速得已解决.例7、已知函数.证明：对任意都存在，使得成立.分析：常规思维，令，，由得：6/6.下面可对分和两种情况进行分类讨论，可以求解但很麻烦，本题可调换主元，以参数反客为主，从而避免繁琐的分类

6、讨论.因为，所以，若，即，令，若对任意使得成立，即恒成立，则需要，解得所以命题成立.例8、已知在区间上是增函数.设关于的方程的两个非零实数根为，试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.分析：由，得，因为，所以是方程的两个非零实数根，所以，从而.因为，所以要是不等式对任意及恒成立，当且仅当对任意恒成立，即对任意恒成立，设，，或.所以，存在实数，使得不等式对任意及6/6恒成立，起取值范围是或.五、着眼整体，回避分类讨论整体思想，就是将问题看成一个整体，注意问题的整体结构和结构变化的思维过程.所谓整体处理，就是采用分解、组合、改造等手

7、段，将问题的原有整体结构变化为一种新的整体结构，从而顺利地实现解决问题的目的.例9、函数在上的最大值和最小值之和为loga2＋6，则的值为(　　)A、B、C、2D、4分析：本题常规思维是按和两种情况讨论，但观察本题发现：无论和，函数在上是单调函数，因此最大值和最小值之和均为，由题意得a2＋a＋loga2＝6＋loga2，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．选C.六、导数转化，回避分类讨论导数是研究函数性质的重要工具，有些含参数的问题，直接用分类讨论去求解，可能很复杂