含参集合分类讨论问题

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1、淘出优秀的你第二周 含参集合分类讨论问题重点知识梳理1.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.2.用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是:(1)明确讨论的对象;(2)进行合理分类,所谓合理分类,应该符合三个原则:①分类应按同一标准进行;②分类应当没有遗漏;③分类应是没有重复的;

2、(3)逐类讨论,分级进行;(4)归纳并作出结论.3.集合中引起分类讨论的原因:(1)由元素的特性引起的讨论;(2)由空集引起的讨论;(3)由方程的有解性引起的讨论.典型例题剖析例1 同时满足:(1)M⊆{1,2,3,4,5};(2)若a∈M,则(6-a)∈M的非空集合M有多少个?并写出这些集合.【解析】按集合M中元素个数分类讨论:M中只有1个元素时,若3∈M,则6-a=6-3=3∈M,所以M={3};M中有2个元素时,满足条件的M有2个:M={1,5},M={2,4};M中有3个元素时,满足条件的M有2个:M={1,3,5},M=

3、{2,3,4};M中有4个元素时,满足条件的M只有1个:M={1,2,4,5};M中有5个元素时,满足条件的M也只有1个:M={1,2,3,4,5},所以适合条件的集合M共有7个.变式训练 已知集合M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为(  )A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】∵M∩N={-3},∴-3∈N={a-3,2a-1,a2+1},7淘出优秀的你若a-3=-3,则a=0,此时M={0,1,-3},N={-3,-1,1},则M∩N={-3,1},故不适合.若2

4、a-1=-3,则a=-1,此时M={1,0,-3},N={-4,-3,2},M∩N={-3},满足题意.若a2+1=-3,此方程无实数解.故选A.【小结】该题结合集合的运算考查了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质:无序性、互异性、确定性.例2 已知集合A={x

5、x2+4x=0},B={x

6、x2+ax+a=0},若B⊆A,求实数a的取值范围.【解析】A={0,-4}.①B=∅时,Δ=a2-4a<0,即0

7、均不满足题意.综上所述,a的取值范围是{a

8、0≤a<4}.变式训练 已知集合A={x

9、ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围.【解析】(1)当a=0时,方程ax2-3x+2=0化为-3x+2=0,解集非空;当a≠0时,要使A是空集,则Δ=(-3)2-8a<0,解得a>.∴使A是空集的a的取值范围是{a

10、a>}.(2)当a=0时,集合A中有一个元素;当a≠0时,若A中有两个元素,则Δ=(-3)2-8a>0,解得a<.综上,使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{

11、a

12、a=0或a≥}.例3 已知集合A={x

13、1

14、2m

15、m≤-2}.(2)由A∩B=∅得:①若2m≥1-m即m≥,B=∅,符合题意;②若2m<1-m即m<,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为{m

16、m≥0}.变式训练 设集合P=,Q=.(1)若P∪Q=P,求实数a的取值范围;(2)若P∩Q=∅,求实数a的取值范围;

17、【解析】(1)由题意知P=,∵P∪Q=P,∴Q⊆P.①当Q=∅时,得2a>a+3,解得a>3;②当Q≠∅时,得-2<2a≤a+3<3,解得-1<a<0.综上,实数a的取值范围是{a

18、-13}.(2)①当Q=∅时,得2a>a+3,解得a>3;②当Q≠∅时,得,解得a≤-5或≤a≤3.综上,实数a的取值范围是{a

19、a≤-5或a≥}.跟踪训练1.由实数a,-a,

20、a

21、所组成的集合里,所含元素个数最多有(  )A.0个B.1个C.2个D.3个2.在集合A={1,a2-a-1,a2-2a+2}中,a的值可以是(  )A.0B.

22、1C.2D.1或23.已知集合A={x

23、ax2+2x+1=0,a∈R}只有一个元素,则a的值为(  )A.0B.1C.0或1D.-14.设P、Q为两个非空实数集,定义集合P+Q={a+b

24、a∈P,b∈Q}.若P={0,2,5},Q={1,2,6},

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