有理三次bezier样条曲线与ph样条曲线造型

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1、浙江大学硕士学位论文近年来，代数曲线曲面的研究受到了很大的关注，特别是圆弧样条被广泛地应用于平面曲线的插值I”“3l。二次曲线与常用的B6zier曲线或B．样条曲线相比，在图形显示方面由于二次曲线结构简单、计算量少，因此显示更快。而在曲线性质方面。由于二次曲线是凸曲线，因此曲线的形状易于控制。在曲率分析方面，计算B6zier曲线或B．样条曲线的曲率公式很繁，而二次曲线的曲率计算公式非常简单。另外，二次曲线的弧长可以用精确的公式来表示，而B6zier曲线与B．样条曲线的弧长计算则比较困难。而精确的弧长计算

2、在一些实际应用领域是非常重要的。因此，无论在理论上还是在应用上，我们都希望曲线的结构尽可能简单，同时其表达的信息要足够丰富和完整，曲线的整体光滑程度高。圆弧是除直线以外结构最简单的曲线，因此，圆弧样条被广泛地应用于平面曲线的插值。但圆弧样条曲线是只能达到整体G。连续的凸曲线，而在CAGD及图形系统中应用的曲线通常要求达到G2连续任意形状的曲线，因此三次多项式(有理)参数样条曲线由于能构造G2连续的任意曲线而被CAGD系统及图形系统广泛采用。在曲线造型设计中，一般采用改变控制顶点的方法来达到所需要的连续阶

3、。事实上，利用有理二次B6zier基也能构造出整体G2连续的样条曲线来[14¨】。由此，我们想知道在控制顶点给定而不能改变的情况下能否利用三次B6zier曲线构造整体G3连续的样条曲线?实践证明，多项式形式的三次B6zier曲线是不行的。而有理三次B6zier曲线含有几个独立的权因子，那么能否通过对权因子的调整使之满足G3连续昵?本文的结论表明，确实可以通过权因子的调整而不改变曲线的控制顶点实现这一目标。无论是商品化的造型软件还是研究文献中对于有理B6zier曲线的变形一般都是通过改变控制顶点来实现这一

4、目标的。至于权因子对三次及更高次有理B6zier曲线的形状及几何连续阶的影响，至今还没有见诸文献。本文充分揭示了权因子对曲线连续阶的影响，从而揭示了有理曲线中权因子的本质特征。这个结论从理论上解决了要产生G3连续的样条曲线的次数最低的有理多项式曲线9浙江大学硕士学位论文是有理三次B6zier曲线。通过对权因子的调整和设计，可以很方便地实现两段有理三次B6zier曲线的G3连续拼接：两段分离的有理三次Bdzier曲线的G3连续过渡：并且实现了有理三次B6zier样条曲线整体G3连续的闭曲线造型。第二节PI

5、-I样条曲线等距(offset)曲线曲面是基曲线曲面沿法线方向距离为d的点的轨迹，是近期CAGD研究的热门课题。其应用领域十分广泛，遍及数据加工中刀具轨迹计算，形位公差学，公路铁路线型设计，机器人行走路径规划，等间距挖洞加工，实体造型和图形学等。对于一条平面曲线r(t)=00)，y(f))，(0≤t墨1)，其等距距离为d的等距曲线可表示为：Do(。2，(，)±了端d·由此表达式可知，由于分母中含有平方根式，因此等距曲线不再具有原曲线的多项式或有理多项式等简单表示。其形状不仅受原曲线的影响，而且还受等距距

6、离d和局部曲率的影响。除直线、圆、平面、球面、圆柱面、圆环面和圆锥面外，其它曲线曲面的Offset一般无法表示为有理形式，从而不能被通用的CAGD系统处理。于是人们便想弄清什么形式的曲线曲面的Offset具有有理表示。九十年代初，Farouki给出了多项式曲线的等距曲线为有理曲线的充分条件——PytllagorcanHodograph(简称PH)条件“⋯。此后，他又把平面PH曲线推广到空间PH曲线与曲面。吕伟“71给出了具有有理等距曲线的参数曲线(Offset-Rational)一OR曲线。由于等距曲线

7、不再具有原曲线类型，为使其表示限于目前CAD／CAGD系统的处理范围内，目前采用的方法主要有：(1)等距移动控制网格法Cobb。”通过将B一样条表示的原曲线的控制顶点沿着与其距离最近点处浙江大学硕士学位论文的法矢方向移动等距距离d，来得到等距曲线的控制顶点。Elber“”将利用Cobb方法得到的逼近结果作为初始解，利用控制顶点对应于结点的逼近误差来迭代地修正各控制顶点的偏移量；并利用NURBS曲线的和与积表示误差函数，结合自适应的分割算法进行等距逼近。(2)基圆包络逼近法Lee伫训等利用基于圆包络逼近给

8、出了一种平面等距曲线的逼近方法。首先利N--次多项式曲线段只(s)，f-O，l，⋯，一．逼近单位圆，假设存在参数变换5(r)使得Pb(f))与基曲线的切矢C。(f)=(工’0)，y’(f))具有相同的方向，即：as(t)+bY’(f)cs(t)+dx’(f)由此可求得s(f)的唯一表达式。其逼近曲线为：c?(t)=c(t)+印(s(，))如果基曲线c(t)是次数为”的多项式曲线，则平面逼近曲线的次数为3H一2：如果基曲线c(t)是次数为n的