高中数学第2章推理与证明22直接证明与间接证明221直接证明课堂导学案苏教版选修1-

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1、2.2.1综合法和分析法课堂导学三点剖析各个击破一、利用综合法证明数学问题【例1】如右图，在四棱锥P-ABCDg,底面加匕9是正方形，必丄底面ABCDy求证:/壬丄证明：(综合法)因为PA是平面力殆9的垂线,/C是平面肋〃的斜线，连结AC、BD,则/C是阳在底面ABCD内的射影.又因为四边形初67?为正方形.:.ACLBD.故PCLBD.温馨提示本例图形具有很多性质，从不同的审视角度去分析，可以得到多个证明方法，如可以转化为线面垂直来证线线垂直,也可以用向量来证明(因为图形中有力〃、AD、加，两两垂直的基向量)等等.

2、一般地，对于命题“若畀则〃’用综合法证明时，思考过程可表示为(如右图).综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从/推演达到〃的途径，但由力推演出的屮间结论未必唯一，如〃、B.、5等，可由从B、5能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如GG、G、G、G等等.最终，能有一个(或多个)可推演出结论〃即可.类题演练1用综合法证明，设日>0,Z?>0,日HZ?.证明：兰边A后.2证明：综合法因为aT^b,所以a-bHO,而(a-b)2>0,展开(a~b)'得：a2-2ab+b2>0.两边加上4ab得：a2+2ab+b2>4ab

3、.左边写成(a+b)$得：(a+b)2>4ab.rfl于a>0,b>0,两边取算术平方根得：a+b>2y[ab.两边除以2得：凹〉临・2变式提升1已知臼>方>0,求证：Va-Vbb>0,：.)<4ab，即2bV2临・进而-2<-2b,于是a_2Vcib+b0,2+77>0,・・・只需证明(、代+2

4、、伍尸<(2+厲)；展开得11+4^6<11+4V7，只需证只需证6<7.显然6<7成立.73+2^2<2+V7成立.证法二:为了证明V3+2V2<2+^7,只要证明2V2-V7<2-V3,只要证明厂1厂V—2V2+V72+a/3・・・2V2>2,V7>V3,・・・2V2+V7>2+V3>0.・・・」「<——成立.・・・馅+2血v2+"成立.2V2+V72+V3温馨提示CB—AB3…c2用分析法思考数学问题的顺序可表示为：（对于命题“若A则D”）B4如右图，分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从〃上溯寻其论据，如C、

5、G、G等，再寻求GG、G的论据，如从B、、5、禺、忆等等，继而寻求从〃、弘念、$的论据，如果其中之一〃的论据恰为己知条件,于是命题己经得证.类题演练2已知弘b、c是不全相等的正数，且0V/V1.-atna+b.b+cna+c_nzn上：log*卜1Oga+1Ogf、1Og^+lOgrZH"]OgrC.222b+c(d+c一(「+iog.r

6、£>abc.222由公式知皿皿>0,出皿>0,叱皿>0.222Ta、b、c不全相等，上面三式相乘，如・b+c・°+c>荷尸二abc,即a+bb+c■••d+c>abc成立,222222.d+bnb+c.a+c..JogA+10g.i+]ogA222<10gra+10g.vb+10g.rC成立.变式提升2设a,,且样b,求证：曰'+〃>/快自F.证明:要证a3+b3>a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,又因a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.又需证a2-2ab+b2>

7、0成立.即需证（a-b）2>0成立.而依题设aHb,则G-b）'AO显然成立.由此命题得证.三、创新应用【例3】设刃、b、c为任意三角形三边长,=寸诜诜b&ca,试证3SW『<4S证明：F二（科快^）J/+方2+圧+2（ab^bc^c富=駅6+E+2S故要证3SW『<45只需证3医/+庁+圧+28<45即SW/+方^/v2S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上左部分，只需证日ZTlc心0.即只需证(/+F-2自方)+(//+圧-2比)+(

8、可证三括号中子都不为负(这一条件对保证上结论成立是充分的，但它并不必要)，注意至1」：/+方2-2日戻(旷力)空0,I)^-c-lbc^｛b~c)2^0,-2u沪(c■日)空0,故结论真.欲证上右部分，只需证:/+E£-2eib~2bc~2ca<0,即要证：｛a~ab~ac)+-bc~bii)+(c~ca~cl))<0.欲证上，则至少要证以上三