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《华工版 数理统计§3.1 §3.2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3章参数估计参数估计问题估计统计问题推断非参数估计问题的参数假设基本检验问题假设检问题验问题非参数假设检验问题点估计本章参数估介绍计问题区间估计§3.1点估计概述我们常常会面临这样一类问题：已知总体分布类型，但不知道其中某些参数的真值。例如已知总体服从泊松分布，但不知其参数l到底等于多少，这时我们希望通过抽取的样本来对未知参数进行估计，这就是参数估计问题。其实上述的泊松分布总体代表着一族总体，估计l无非是要推断样本究竟来自这族总体中的哪一个。另外，总体分布中未知参数的实值函数通常也叫做参数。因此利用样本估计未知参数的实值函数也属于参数估计问题。参数估计有点估计与区
2、间估计之分，下面首先讲述参数的点估计。一、点估计概述设（x1,x2,L,xn）为来自总体x的样本，（x1,x2,L,xn）为相应的样本值。q是总体分布中的未知参数，则q的取值范围称为参数空间，并记为Q。为了估计未知参数q我们构造一个统计量h(x1,x2,L,xn)，然后用h(x1,x2,L,xn)的值h(x1,x2,L,xn)来估计的q真值。称h(x1,x2,L,xn)为q的估计量，记作qˆ(x1,x2,L,xn)；称h(x1,x2,L,xn)为q的估计值,记为qˆ(x1,x2,L,xn)。未知参数的估计量或估计值统称为未知参数的估计。如何构造未知参数的估计量呢？在
3、一些具体问题中自然可以按照具体情况去构造，具体情况具体分析。我们要介绍的是构造估计量的一般方法。本课程准备介绍三种方法，即矩法、极大似然法与顺序统计量法。二、矩法矩法也是求点估计的常用方法.基本用样本k阶矩作为总体k阶矩的思想估计量；用相应的样本矩函数去估计总体矩的函数；从而给出待估参数。设x1,L,xn是来自某总体x的一个样本，nkk1k记ak=Ex为总体的k阶原点矩,记x=åxini=1为样本的k阶原点矩。如果待估参数q可以表示为总体前r阶矩的连续函数，即q=g(a,L,a)1r则我们用rqˆ=g(x,L,x)作为q的估计，并称这样的估计为矩估计，可简记为qˆ.
4、m例1设总体x~N(m,s2),x,x,L,x为12n总体的样本,求m,s2的矩法估计量.解mˆ=xm因s2=Ex2-(Ex)2=a-a2.21nn则212212sˆm=åxi-(x)=å(xi-x)ni=1ni=1例2设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.Ù110解E(x)=x=åxi=1147(h)10i=1Ù110222D(x)=(åxi-10x)=6821(h)10i=1
5、例3设总体(x1,h1),L,(xn,hn)为总体(x,h)的样本,求总体的协方差及相关系数矩法估计量.解：cov(x,h)=Exh-ExEh的矩估计为nnn111åxihi-(åxi)(åhi)ni=1ni=1ni=11n记为=å(xi-x)(hi-h)=S12ni=1S称为样本协方差。12cov(x,h)的矩估计为DxDhS12记为RSS12n其中212S1=å(xi-x),ni=1n212S2=å(hi-h),ni=1R称为样本相关系数。三、极大似然法除了矩法，极大似然法也是常用的方法思想方法:一次试验就出现的事件有较大的概率例如:有两外形相同的箱子,各装10
6、0个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.问:所取的球来自哪一箱？答:第一箱.下面我们就离散型总体和连续型总体作进一步分析。（1）设为x离散型随机变量,其分布律为P(x=x)=p(x;q)(qÎQ),则样本x,x,…,x的联合概率函数为12nP(x=x,x=x,L,x=x)1122nn=p(x;q)p(x;q)Lp(x;q)12n记为或=L(x,x,L,x,q)=L(q)12n称L(q)为样本的似然函数似然函数L(q)的值大小意味着该样本值出现的可能性大小。既然已经得到了样本值x,x,L,x（12n
7、），那么它出现的可能性应该是大的，即似然函数的值应该是大的。因此我们选择使L(q)达到最大值的那个q作为真q的估计值。（2）设为x连续型随机变量,其密度函数为p(x;q)(qÎQ),则样本x,x,…,x的密度函数为12np(x,q)p(x,q)Lp(x,q)12n在q固定时，它是（x1,x2,…,xn）的密度函数在（x,x,…,x12n）处的值，它的大小与（x,x,…,x）落在（x,x,…,x）附近的12n12n的概率的大小成正比。而当样本值（x1,x2,…,xn）给定时，它是q的函数，我们仍把它记为L(q)，并称nL(q)=Õp(xi;q)qÎΘi=1为似然函
