《微分几何》教学大纲

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1、《微分几何》课程教学大纲一、《微分几何》课程说明（一）课程代码：0741123010（二）课程英文名称：Differentialgeometry（三）开课对象：数学与应用数学专业（四）课程的性质：考试（五）学时：60　　微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一。由于高等院校这门课程的课时限制，仅从微分几何最基础的三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论进行教学。可是从方法上来说则加以更新，这样做将使学生能够从较浅显的内容去学习近代的处理方法。，　　　本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微

2、分方程。　　　　（六）教学目的：　　通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。（七）教学内容：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。（八）教学时数教学时数：７2学时教学时数具体分配：教学内容讲课(学时)习题课(学时)累计一、曲线论1.1　　向量函数2

3、261.2曲线的概念4281.3空间曲线428二、曲面论2.1曲面的概念4262.2曲面的第一基本形式62102.3曲面的第二基本形式62122.4直纹面和可展曲面４２62.5曲面论的基本定理4262.6曲面上的测地线628　2.7常高斯曲率曲面202合计421872（九）教学方式课堂讲授,课外习作及批改.（十）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。二、讲授大纲与各章的基

4、本要求第一章　　曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。教学内容：第一节　　向量函数　　　　　1.1　向量函数的极限　　　　　1.2　向量函数的连续性　　　　　1.3　向量函数的微商　　　　　1.4　

5、向量函数的泰勒（TayLor）公式　　　　　1.5　向量函数的积分第二节　　曲线的概念　　　　　2.1　曲线的概念　　　　　2.2　光滑曲线•曲线的正常点　　　　　2.3　曲线的切线和法面　　　　　2.4　曲线的弧长•自然参数第三节　　空间曲线　　　　　3.1　空间曲线的密切平面　　　　　3.2　空间曲线的基本三棱形　　　　　3.3　空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式　　　　　3.4　空间曲线在一点邻近的结构　　　　　3.5　空间曲线论的基本定理）　　　　　3.6　一般螺线　　考核要求：1、理解向

6、量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。了解这些内容与平行的数学分析内容之间的区别和联系。2、理解和熟记简单曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、曲线的弧长和曲线的自然参数等基本概念，能理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。3、理解和熟记空间曲线的密切平面、基本三棱形、曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等重要概念和理论。理解空间曲线论的基本定理。重点是掌握曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式等内容，能够论证和计算

7、有关问题。　第二章　　曲面论教学要点：　　本章主要研究曲面概念，曲线坐标网，曲面的切平面和法线。引入曲面的第一、第二基本形式，由第一基本形式计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换；由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系。介绍本章唯一的整体理论——高斯崩尼公式。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：50学时。教学内容：第一节　　曲面的概念　　　　　1.1　简单曲面及其参数表

8、示　　　　　1.2　光滑曲面•曲面的切平面和法线　　　　　1.3　曲面上的曲线族和曲线网第二节　　曲面的第一基本形式　　　　　2.1　曲面的第一基本形式•曲面上曲线的弧长　　　　　2.2　曲面上两方向的交角　　　　　2.3　正交曲线族和正交轨线　　　　　2.4　曲面域的面积　　　　　2.5　等距变换　　　　　2.6　保角变换第三节　　曲面的第二基本形式　　　　　3.1　曲面的第二基本形